Математическая модель транспортной задачи
Переменными
(неизвестными) транспортной задачи
являются xij ..,i-(=1,2,
..., k),
j= 1,2, ..., n —
объемы перевозок от каждого i -го
поставщика каждому j-му
потребителю. Эти переменные можно
записать в виде матрицы перевозок:
или
|
a 1 |
a2 |
… |
an |
b 1 |
x 11 |
x 12 |
|
x 1n |
b 2 |
x 21 |
… |
|
x 2n |
… |
… |
… |
… |
… |
bk |
x k1 |
… |
… |
x kn |
Так
как произведение cijxij .
определяет затраты на перевозку груза
от i-го
поставщика j-му
потребителю, то суммарные затраты на
перевозку всех грузов равны 
.
По условию задачи требуется обеспечить
минимум суммарных затрат. Следовательно,
целевая функция задачи имеет вид:
Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из k уравнений описывает тот факт, что запасы всех k поставщиков вывозятся полностью:
Вторая
группа из n уравнений
выражает требование полностью
удовлетворить запросы
всех nпотребителей:
Учитывая
условие неотрицательности объемов
перевозок, математическую модель задачи
можно записать так:
В
рассмотренной модели транспортной
задачи предполагается, что суммарные
запасы поставщиков равны суммарным
запросам потребителей, т.е.
Такая
задача называется задачей с правильным
балансом, а ее модель — закрытой. Если
же это равенство не выполняется, то
задача называется задачей с неправильным
балансом, а ее модель — открытой.
Математическая
формулировка транспортной задачи
такова: найти переменные X
=(xij ) задачи
удовлетворяющие системе
ограничений:
условиям
неотрицательности 
и
обеспечивающие минимум целевой
функции.
Математическая
модель транспортной задачи может быть
записана в векторном виде. Для этого
рассмотрим матрицу Aсистемы
уравнений-ограничений задачи.
Сверху над каждым столбцом матрицы указана переменная задачи, коэффициентами при которой являются элементы соответствующего столбца в уравнениях системы ограничений. Каждый столбец матрицы A, соответствующий переменной хij.., является вектором-условием задачи и обозначается через Aij. Каждый вектор имеет всего k+ nкоординат, и только две из них, отличные от нуля, равны единице. Первая единица вектора Aij стоит на i-м месте, а вторая - на (k+j)-м месте, т.е.
Таким
образом в векторной форме задача будет
выглядеть так:
Пример.
Составить математическую модель
транспортной задачи, исходные данные
которой приведены в таблице:
|
20 |
30 |
40 |
40 |
3 |
5 |
7 |
50 |
4 |
6 |
10 |
Решение.
Введем переменные задачи (матрицу
перевозок) 
x11 |
x12 |
x13 |
x21 |
x22 |
x23 |
Запишем матрицу стоимостей
Целевая функция задачи равна сумме произведений всех соответствующих элементов матриц С и X: F(X )=3 x 11 +5 x 12 +7x13+4x21+6x22+10x23. Данная функция, определяющая суммарные затраты на все перевозки, должна достигать минимального значения. Составим систему ограничений задачи. Сумма всех перевозок, стоящих в первой строке матрицы X, должна равняться запасам 1-го поставщика, а сумма перевозок во второй строке матрицы X — запасам 2-го поставщика. Следовательно: x11 + x 12 + x 13 = 40; и х21 + х22 + х23 = 50. Это означает, что запасы поставщиков вывозятся полностью. Суммы перевозок, стоящих в каждом столбце матрицы X, должны быть равны запросам соответствующих потребителей: x11 + x 21 = 20; x 12 + x22= 30; и х31 + х32 = 40. Это означает, что запросы потребителей удовлетворяются полностью. Необходимо также учитывать, что перевозки не могут быть отрицательными: х ij ≥ 0 , i = 1, 2, j= 1,2,3. Следовательно, математическая модель рассматриваемой задачи такова: найти переменные задачи, обеспечивающие минимум функции:
и удовлетворяющие системе ограничений
|
и условиям неотрицательности х ij ≥0, (i= 1, 2; j=l,2,3 ).
Билет 11. ЗАДАЧА С ПРАВИЛЬНЫМ БАЛАНСОМ
Транспортная задача с правильным балансом состоит в том, чтобы найти оптимальный план по заданной таблице перевозок, при котором стоимость перевозок будет минимальна.
Такая задача актуальна в областях связанных с транспортировкой грузов.
Задача состоит в том, чтобы найти такой способ перевозки, при котором затраты связанные с перевозкой были бы минимальны
Постановка задачи
Транспортная задача ставится следующим образом: имеется m пунктов отправления А1, А2 , ..., Аm , в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно а1, а2, ... , аm. Имеется n пунктов назначения В1 , В2 , ... , Вn подавшие заявки соответственно на b1 , b2 , ... , bn груза. Известны стоимости Сi,j перевозки от каждого пункта отправления Аi до каждого пункта назначения Вj . Все числа Сi,j, образующие прямоугольную таблицу заданы. Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько поставить), чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.
Распределительный метод достижения оптимального плана
Теперь попробуем улучшить план, составленный способом “северо-западного угла”. Перенесем, например, 18 единиц из клетки (1,1) в клетку (2,1) и чтобы не нарушить баланса перенесём те же 18 единиц из клетки (2,3) в клетку (1,3). Получим новый план. Подсчитав стоимость опорного плана (она ровняется 1039) и стоимость нового плана (она ровняется 913) нетрудно убедиться что стоимость нового плана на 126 единиц меньше. Таким образом за счёт циклической перестановки 18 единиц груза из одних клеток в другие нам удалось понизить стоимость плана. На этом способе уменьшения стоимости в дальнейшем и будет основан алгоритм оптимизации плана перевозок. Циклом в транспортной задаче мы будем называть несколько занятых клеток, соединённых замкнутой ломанной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90°.
Нетрудно убедиться, что каждый цикл имеет чётное число вершин и значит, чётное число звеньев (стрелок). Условимся отмечать знаком “+” те вершины цикла, в которых перевозки необходимо увеличить, а знаком “-“ те вершины, в которых перевозки необходимо уменьшить. Цикл с отмеченными вершинами будем называть “означенным”. Перенести какое-то количество единиц груза по означенному циклу — это значит увеличить перевозки, стоящие в положительных вершинах цикла, на это количество единиц, а перевозки, стоящие в отрицательных вершинах уменьшить на то же количество. Очевидно, при переносе любого числа единиц по циклу равновесие между запасами и заявками не меняется: по прежнему сумма перевозок в каждой строке равна запасам этой строки, а сумма перевозок в каждом столбце — заявке этого столбца. Таким образом при любом циклическом переносе, оставляющем перевозки неотрицательными допустимый план остаётся допустимым. Стоимость же плана при этом может меняться: увеличиваться или уменьшатся. Назовём ценой цикла увеличение стоимости перевозок при перемещении одной единицы груза по означенному циклу. Очевидно цена цикла ровна алгебраической сумме стоимостей, стоящих в вершинах цикла, причём стоящие в положительных вершинах берутся со знаком “+”, а в отрицательных со знаком “-“. Вершины чередуются начиная с “+”. Обозначим цену цикла через g. При перемещении одной единицы груза по циклу стоимость перевозок увеличивается на величину g. При перемещении по нему k единиц груза стоимость перевозок увеличиться на kg. Очевидно, для улучшения плана имеет смысл перемещать перевозки только по тем циклам, цена которых отрицательна. Каждый раз, когда нам удаётся совершить такое перемещение стоимость плана уменьшается на соответствующую величину kg. Так как перевозки не могут быть отрицательными, мы будем пользоваться только такими циклами, отрицательные вершины которых лежат в базисных клетках таблицы, где стоят положительные перевозки. Если циклов с отрицательной ценой в таблице больше не осталось, это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, то есть оптимальный план достигнут.
Метод последовательного улучшения плана перевозок и состоит в том, что в таблице отыскиваются циклы с отрицательной ценой, по ним перемещаются перевозки, и план улучшается до тех пор пока циклов с отрицательной ценой уже не останется. Можно доказать, что для любой свободной клетке транспортной таблице всегда существует цикл и притом единственный, одна из вершин которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные в базисных клетках. Если цена такого цикла, с плюсом в свободной клетке, отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза k, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки).
Применённый выше метод отыскания оптимального решения транспортной задачи называется распределённым; он состоит в непосредственном отыскании свободных клеток с отрицательной ценой цикла и в перемещении перевозок по этому циклу.
В
модели транспортной задачи предполагается,
что суммарные запасы поставщиков равны
суммарным запросам потребителей,
т.е. 
.
Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель – закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель – открытой.
Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи.
Теорема1. Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей:
, т.е. задача должна быть с правильным балансом.
Доказательство.Необходимость. Пусть
задача имеет допустимое
решение 
,
i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n .
Докажем, что
.
Подставим 
в
уравнения системы ограничений
(2), (3), получим 
,
i=1,2,,…,m, 
,
j=1,2,…,n . Просуммируем первую и вторую
группы тождеств по отдельности: 
и 
.
Отсюда следует, что задача имеет
правильный баланс
.
Достаточность. Пусть
задача имеет правильный баланс
=М.
Докажем, что в этом случае задача имеет
оптимальное решение. Сначала убедимся
в том, что область допустимых решений
задачи – непустое множество. Проверим,
что 
=
,
i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n является допустимым
решением. Подставим
в
левые части уравнений системы ограничений
(2), (3), получим 
=
=
М=
,
i=1,2,,…,m;
=
=
М=
,
j=1,2,…,n, т.е. уравнения обращаются в
тождества. Очевидно, что
удовлетворяет
и условиям неотрицательности.
Далее
покажем, что существует оптимальное
решение. Учитывая, что стоимости перевозок
единиц груза ограничены сверху и
снизу 
,где
С и D – конечные постоянные, можно
записать
Следовательно, целевая функция ограничена на множестве допустимых решений и, как всякая непрерывная функция, достигает своего наименьшего (а также и наибольшего) значения. Теорема доказана полностью.
Билет 12. Задачи С Неправильным Балансом
Особенности
решения транспортных задач с неправильным
балансом:
1.Если
суммарные запасы поставщиков превосходят
суммарные запросы потребителей,
т.е.
то
необходимо ввести фиктивного (n+1)-го
потребителя с запросами 
равными
разности суммарных запасов поставщиков
и запросов потребителей, и нулевыми
стоимостями перевозок единиц груза 
2.
Если суммарные запросы потребителей
превосходят суммарные запасы поставщиков,
т.е.
то
необходимо ввести фиктивного (m+1)-го
поставщика с запасами 
равные
разности суммарных запросов потребителей
и запасов поставщиков, и нулевыми
стоимостями перевозок единиц груза 
3.
При составлении начального опорного
решения в последнюю очередь следует
распределять запасы фиктивного поставщика
и удовлетворять запросы фиктивного
потребителя, несмотря на то, что им
соответствует наименьшая стоимость
перевозок, равная нулю.
Транспортная задача с неправильным балансом. В предыдущих случаях мы рассматривали только такую задачу о перевозках, в которой сумма запасов ровна сумме заявок: аi = bj ( где i=1,...,m ; j=1,...,n ) (4) Это класическая транспортная задача, иначе называемая, транспортной задачей с правильным балансом. Встречаются такие варианты транспортной задачи где условие (4) нарушено. В этих случаях го- ворят о транспортной задаче с неправильным балансом. Баланс транспортной задачи может нарушаться в 2-ух направле- ниях: 1. Сумма запасов в пунктах отправления превышает сумму поданных заявок аi > bj ( где i=1,...,m ; j=1,...,n ); 2. Сумма поданных заявок превышает наличные запасы аi < bj ( где i=1,...,m ; j=1,...,n ); Условимся первый случай называть "Транспортной задачей с избытком запасов", а второй — "Транспортной задачей с избытком заявок". Рассмотрим последовательно эти два случая: Транспортная задача с избытком запасов. В пунктах A1, A2, ... , Am имеются запасы груза a1, a2, ... , am; пунк- ты B1, B2, ... , Bn подали заявки b1, b2, ... , bn, причём аi > bj ( где i=1..m ; j=1..n ). Требуется найти такой план перевозок (X), при котором все за- явки будут выполнены, а общая стоимость перевозок минимальна. Очевидно при этой постановке задачи некоторые условия-равенства транспортной задачи превращаются в условия-неравенства, а некоторые — остаются равенствами. n Xi,j = ai (i=1, ... , m); j=1 m Xi,j = bj (j=1, ... , n). i=1 Мы умеем решать задачу линейного программирования, в какой бы форме — равенств или неравенств ни были бы заданы её условия. Поставленная задача может бать решена, например, обычным симплекс-методом. Однако, задачу можно решить проще, если искусственным приёмом свести её к ранее рассмотренной тран- спортной задаче с правильным балансом. Для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения В1, B2, ... , Bn, введём ещё один, фиктивный, пункт назначения Bn+1, которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками bn+1 = ? аi - ? bj ( где i=1,...,m ; j=1,...,n ) , а стоимость перевозок из всех пунктов отправления в фиктивный пункт назначения bn+1 будем считать равным нулю. Введением фиктивного пункта назначения B n+1 с его заявкой b n+1 мы сравняли баланс транспортной задачи и теперь его можно решать как обычную транспортную задачу с правильным балансом. Транспортная задача с избытком заявок . Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с пра- вильным балансом, если ввести фиктивный пункт отправления Am+1 с запасом am+1 равным недостающему запасу и стоимость перевозок из фиктивного пункта отправления во все пункты назначения принять равным нулю. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов. Порядок решения транспортной задачи методом потенциалов следующий. 1. Проверяют выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводят фиктивного поставщика или потребителя с недостающими запасами или запросами и нулевыми стоимостями перевозок. 2. Строят начальное опорное решение (методом минимальной стоимости или каким-либо другим методом) и проверяют правильность его построения, для чего подсчитывают количество занятых клеток (их должно быть m+n-1) и убеждаются в линейной независимости векторов-условий (методом вычеркивания). 3. Строят систему потенциалов, соответствующих опорному решению. Для этого решают систему уравнений += при >0. Для того чтобы найти частное решение системы, одному из потенциалов (обычно тому, которому соответствует большее число занятых клеток) задают произвольно некоторое значение (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно определяются по формулам =- при >0, (24) 4если известен потенциал , и =- при >0, (25) если известен потенциал . 4. Проверяют, выполняется ли условие оптимальности для свободных клеток таблицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных клеток по формулам =+- и те оценки, которые больше нуля, записывают в левые нижние углы клеток. Если для всех свободных клеток 0, то вычисляют значение целевой функции, и решение задачи заканчивается, так как полученное решение является оптимальным. Если же имеется хотя бы одна клетка с положительной оценкой, то опорное решение не является оптимальным. 5. Переходят к новому опорному решению, на котором значение целевой функции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наибольшая положительная оценка max{}=. Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток, занятых опорным решением. В клетках цикла расставляют поочередно знаки "+" и "-", начиная с "+" в клетке с наибольшей положительной оценкой. Осуществляют сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину =. Клетка со знаком "-", в которой достигается , остается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в остальных проставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось равным m+n-1. Далее возвращаемся к пункту 3 алгоритма.
Билет 13.Необходимое и достаточное условие решения транспортной задачи
Теорема 12.1. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т. е. чтобы выполнялось равенство
(12.3)
Модель
такой транспортной задачи называется закрытой,
или замкнутой,
или сбалансированной,
в противном случае модель
называется открытой.
В случае 
вводится
фиктивный (n +
1)-й пункт назначения с потребностью 
и
соответствующие тарифы считаются
равными нулю:
аналогично,
при 
вводится
фиктивный (m +
1)-й пункт отправления с запасом груза 
и
тарифы полагаются равными нулю:
.
Этим задача сводится к обычной транспортной задаче. В дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи.
Число
переменных 
в
транспортной задаче с m пунктами
отправления и n пунктами
назначения равно mn,
а число уравнений в системе (12.2) ‑ m + n.
Так как мы предполагаем выполнение
условия (12.3), то число линейно независимых
уравнений равно m + n –
1. Следовательно, опорный план может
иметь не болееm + n –
1 отличных от нуля неизвестных. Если в
опорном плане число отличных от
нуля компонент равно в точности m + n –
1, то план называется невырожденным,
а если меньше – то вырожденным.
Равенство 
является
необходимым условием совместности
ограничений задачи.
Докажем и достаточность этого условия: если запасы равны потребностям, то всегда имеется допустимый план.
Действительно, пусть . Рассмотрим такие числа:
Убедимся, что эти числа образуют допустимый план. Для этого достаточно проверить, что они удовлетворяют всем ограничениям задачи.
Просуммируем эти числа по индексу i:
.
Но
величины Nj, 
от
индекса i не
зависят и их можно вынести за знак суммы.
В результате
или
, 
Следовательно, взятые числа удовлетворяют группе уравнений (1).
Просуммируем эти числа по индексу j:
Вынося постоянные Mi и за знак суммы и имея в виду, что , получаем
или в развернутом виде
Как видим, наши числа удовлетворяют группе уравнений (1). Эти числа неотрицательны, т.е. система ограничений полностью удовлетворяется. Таким образом, допустимый план существует, что и требовалось доказать.
Равенство запасов потребностям есть необходимое и достаточное условие совместности и, следовательно, разрешимости транспортной задачи. [5]
Билет 14.Северо-западный угол
На каждом шаге метода северо-западного угла из всех не вычеркнутых клеток выбирается самая левая и верхняя (северо-западная) клетка. Другими словами, на каждом шаге выбирается первая из оставшихся не вычеркнутых строк и первый из оставшихся не вычеркнутых столбцов.
Для того чтобы заполнить клетку (i,j), необходимо сравнить текущий запас товара в рассматриваемой i–й строке aiтек с текущей потребностью в рассматриваемом j–м столбце bjтек.
Если существующий запас позволяет перевезти всю потребность, то
в клетку (i,j) в качестве перевозки вписывается значение потребности bjтек;
j–й столбец вычеркивается, поскольку его потребность уже исчерпана;
от существующего запаса в i–й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежний запас зачеркивается, а вместо него записывается остаток, т.е. (aiтек – bjтек)
Если существующий запас не позволяет перевезти всю потребность, то
в клетку (i,j) в качестве перевозки вписывается значение запаса aiтек
i–я строка вычеркивается, поскольку ее запас уже исчерпан;
от существующей потребности в j–й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежняя потребность зачеркивается, а вместо нее записывается остаток, т.е. (bjтек – aiтек)
Нахождение опорного плана продолжается до тех пор, пока не будут вычеркнуты все строки и столбцы.
Метод северо-западного угла
Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простым из которых является метод северо-западного угла. В данном методе запасы очередного по номеру поставщика используются для обеспечения запросов очередных по номеру потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.
Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла, поэтому и называется метод северо-западного угла.
Метод состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или один потребитель.
Пример 38.1
Составить опорное решение, используя метод северо-западного угла.
Решение:
1. Распределяем запасы 1-го поставщика. Если запасы первого поставщика больше запросов первого потребителя, то записываем в клетку (1,1) сумму запроса первого потребителя и переходим ко второму потребителю. Если же запасы первого поставщика меньше запросов первого потребителя, то записываем в клетку (1,1) сумму запасов первого поставщика, исключаем из рассмотрения первого поставщика и переходим ко второму поставщику.
Пример: так как его запасы a1 =100 меньше запросов первого потребителя b1 =100, то в клетку (1,1) записываем перевозку x11=100 и исключаем из рассмотрения поставщика. Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы 1-го потребителя b1= 150-100=50.
|
150 |
200 |
100 |
100 |
|
100 |
100 |
|
|
|
100было-100надо=0осталось |
250 |
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
150надо-100было=50осталось Осталось удовлетворить запросов на 50 единиц товара |
|
|
|
|
2. Распределяем запасы 2-го поставщика. Так как его запасы a2 = 250 больше оставшихся неудовлетворенными запросов 1-го потребителя b1 =50, то в клетку (2,1) записываем перевозку x21 =50 и исключаем из рассмотрения 1-го потребителя. Определяем оставшиеся запасы 2-го поставщика a2 = a2 — b1 = 250-50=200. Так как оставшиеся запасы 2-го поставщика равны запросам 2-го потребителя, то в клетку (2,2) записываем x22=200 и исключаем по своему усмотрению либо 2-го поставщика, либо 2-го потребителя. В нашем примере мы исключили 2-го поставщика. Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запросы второго потребителя b2=b2-a2=200-200=0.
|
150 |
200 |
100 |
100 |
|
100 |
100 |
|
|
|
|
250 |
50 |
200 |
|
|
250-50=200 200-200=0 |
200 |
|
|
|
|
|
|
150-100-50=0 |
|
|
|
|
3. Распределяем запасы 3-го поставщика. Важно! В предыдущем шаге у нас был выбор исключать поставщика или потребителя. Так как мы исключили поставщика, то запросы 2-го потребителя все же остались (хоть и равны нулю). Мы должны записать оставшиеся запросы равные нулю в клетку (3,2) Это связано с тем, что если в очередную клетку таблицы (i,j) требуется поставить перевозку, а поставщик с номером i или потребитель с номером j имеет нулевые запасы или запросы, то ставится в клетку перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого исключается из рассмотрения либо соответствующий поставщик, либо потребитель. Таким образом, в таблицу заносятся только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.
Во избежании ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно m+n-1 (базисный ноль при этом тоже считается занятой клеткой), и векторы-условий, соответствующие этим клеткам, линейно независимые.
Так как в предыдущем шаге мы исключили из рассмотрения второго поставщика, то в клетку (3,2) записываем x32=0 и исключаем второго потребителя.
Запасы 3-го поставщика не изменились. В клекту (3,3) записываем x33=100 и исключаем третьего потребителя. В клетку (3,4) записываем x34=100. Ввиду того, что наша задача с правильным балансом, запасы всех поставащиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью и одновременно.
Опорное решение |
||||
|
150 |
200 |
100 |
100 |
100 |
100 |
|
|
|
250 |
50 |
200 |
|
|
200 |
|
0 |
100 |
100 |
4.
Проверяем правильность построения
опорного решения.
Число занятых
клеток должно быть равно
N=m(поставщики)+m(потребители) — 1=3+4 —
1=6.
Применяя метод вычеркивания,
убеждаемся, что найденное решение
является "вычеркиваемым" (звездочкой
отмечен базисный нуль).
Следовательно, векторы-условий, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное решение действительно является опорным.
Билет 15.Минимальный тариф
Метод
наименьшей стоимости. Суть
метода заключается в том, что из всей
таблицы стоимостей выбирают наименьшую
и в клетку 
,
которая ей соответствует, помещают
меньшее из чисел 
и 
,
затем из рассмотрения исключают либо
строку, соответствующую поставщику,
запасы которого полностью израсходованы,
либо столбец, соответствующий потребителю,
потребности которого полностью
удовлетворены, либо и строку и столбец,
если израсходованы запасы поставщика
и удовлетворены потребности потребителя. Из
оставшейся части таблицы стоимостей
снова выбирают наименьшую стоимость,
и процесс размещения запасов продолжают,
пока все запасы не будут распределены,
а потребности удовлетворены.
Построение первоначального плана по способу минимального элемента
При построении первоначального плана по способу северо-западного угла совершенно не учитываются тарифы, потому план получается весьма далеким от оптимального. Для решения задачи приходится делать много приближений (шагов).
Способ минимального элемента учитывает тарифы и потому позволяет найти план, более близкий к оптимальному.
Этот способ заключается в следующем.
1. Располагаем все клетки таблицы в очередь по мере возрастания тарифов, начиная с минимального.
линейное программирование транспортная задача
2. В клетку с минимальным тарифом записываем наибольшую возможную перевозку (исходя из запасов и потребностей), затем заполняем очередную по порядку клетку и т.д., пока не получим план. При этом должен строго соблюдаться баланс по строкам и столбцам. Пустые клетки прочеркиваем, а не заполняем нулями (чтобы было видно, что они не входят в план).
Полученный план будет ациклическим и будет состоять не более чем из k+l-1 компонент. Этот план и принимаем за исходный. Он будет лучше плана, построенного по способу северо-западного угла, и для нахождения оптимума потребуется меньше вычислений. [5]
Шаг 1. Составляют транспортную таблицу.
Шаг 2. Выбирают клетку таблицы, которой соответствует минимальное значение тарифа, и переходят на шаг 3.
Шаг 3. В выбранную клетку аналогично методу "северо-западного" угла помещают максимально возможное число единиц продукции, разрешенное ограничениями на предложение и спрос. После этого, если предложение производителя исчерпано, вычеркивают соответствующую строку; если спрос удовлетворен, вычеркивают соответствующий столбец.
Если все клетки заполнены или вычеркнуты, то план перевозок построен. В противном случае переходят к шагу 2 без учета заполненных и вычеркнутых клеток.
Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента
Пункты
отправления, |
Пункты
потребления, |
Запасы, ед. продукции |
|||
|
|
|
|
||
|
5 |
45 8 |
130 1 |
35 2 |
210/80/45/0 |
|
125 2 |
45 5 |
4 |
9 |
170/45/0 |
|
9 |
2 |
3 |
65 1 |
65/0 |
Потребность, ед. продукции |
125/0 |
90/45/0 |
130/0 |
100/35/0 |
|
Опорный
план 
,
найденный методом минимального элемента
[ед.товара], 
[руб.].
Билет 16.Фогеля