Билет№88.Билет№89.

Теорема: КрОНЕКЕРА-Капелли. Произвол. лин. система ур-й

Совместна т. и т. т., когда ранг осн. м-цы этой системы=

рангу ее расширенной м-цы.

Док-во: Рассм. произвол. сист. лин. ур-й:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1

a21x2+a22x2+...+a2nxn=b2

am1x1+am2x2+...+amnxn=bm

Выпишем осн. м-цу:

a11 a12...a1n

А= a21 a22...a2n

am1 am2...amn

Выпишем расшир. м-цу:

a11 a12...a1n b1

A*= a21 a22...a2n b2

am1 am2...amn bm

Необходимость. Пусть данная сист. имеет хотя бы одно

реш-е: (1,n),подставим это реш-е в систему ,

получим m- векрных тождеств,которые можно записать

так: a11 a12 a1n b1

a21 aa2n n= b2

am1 am2 amn bn

=C1 =C2 =Cn =B

Получим, что C1 C2n Cn=В (1)

Допустим,что Rg A=r,тогда по т-ме о базисном миноре

в м-це А сущ. r- лин. независ. столбцов, все остальные

столбцы м-цы А явл. лин. комбинацией базисных, но

тогда явл. лин. комбинацией базисн. столбцов м-цы А,

поэтому базисные столбцы м-цы А явл. также базисн.

столбцами м-цы А*, поэтому Rg A=Rg A*=r ч.т.д.

Достаточность. Допустим, что Rg A=Rg A*=r, тогда

очевидно, что что баизсный минор м-цы А порядка r,

явл. и базисн. минором м-цы A*, это значит, что столбец

своб. членов не входит в состав базисных столбцов,

поэтому по теореме о базисном миноре он явл. лин.

комбинацией базисных столбцов. Допустим, что

базисными явл. первые r столбцов м-цы А, т.е.

C1,C2...Cr, тогда существуют числа r, такие,

что C1 C2r Cr=В, очевидно и спр. рав-во:

C1 C2r Cr+0Cr+1+...+0Cn=В

Распишем это рав-во:

a11 a12 a1r a1r+1 a1n b1

a21 aa2r n+ a2r+2 0+...+a2n 0= b2

an1 an2 anr amr+1 amn bn

(r,0...0) – явл. реш-ем данной системы, поэтому

сист. явл. совместной. ч.т.д.

Следствие 1. Если RgA=Rg A*=r, то m-r ур-й, коэф-ты

которых на входят в базисн. минор важно вычеркнуть

из сист. ,получ.сист.из r-ур-й эквивалентную данной.

Следствие 2. Если Rg A=RgA*=r, которая совпадает

с n , т.е. тарни совпадают с числом неизвестных, то

сист. имеет единств. реш-е

Следствие 3. Если RgA и RgA* совпадают и явл.

меньшими числа неизвестных, т.е. r<n, то сист имеет

бесконечное мн-во реш-й, которые наход-ся из общ.

реш-я системы.

СИСТЕМЫ ОДНОРОД. ЛИН. УР-Й. ТЕОРЕМА О

СУЩ. НЕНУЛЕВЫХ РЕШ-Й.БИЛЕТ№90

Теорема: Однородн. лин. система ур-й имеет ненулевое

реш-е т. и т. т., когда ранг ее осн. м-цы < числа

неизвестных системы, т.е. r < n.

Док-во: Необходимость. Допустим, что сист. имеет

нулевое реш-е (n). Подставим в сист. и

получим:

a11 a12 a1n 0

a21 aa2n n= 0

am1 am2 amn 0

=c1 =c2 =cn обозначим как c1,c2,cn

 c1+ c2n cn=0, при чем среди коэф-тов

(n) есть отличные от нуля, тогда это рав-во

означает, что столбцы осн. м-цы c1, c2... cn явл. лин.

зависимыми, поэтому не все они явл. базисными, т.е.

базисн. столбцов меньше n, т.к. RgA= числу базисных

столбцов, то имеем что RgA<n

Достаточность. Пусть RgA=r при r<n, тогда по теореме

о базисном миноре r- столбцов явл. базисными, а

остальные n-r столбцов явл. лин. комбинацией базисных

столбцов, поэтому все столбцы в м-цы А- лин.

зависимы,т.е.сущ. числа n одноврем. ,для кот.

вып. рав-во:c1+ncn=0 и если расписать это

рав-во подробно, то получим n верных тождеств,

которые показывают,что мн-во n явл. решением

данной системы

Следствие. Кв. однород сист.лин. ур-й имеет не нулевое

реш-е т. и т. т., когда опр-ль осн. м-цы системы=0

Теорема: В мн-ве всех решений однородной лин. сист.,

определены две лин.операции:умножение реш-й на люб.

число  и операция сложения решений. Более того,мн-во

всех реш-й однор. и лин. системы явл. лин. пр-вом.

( проверка всех оксиом лин. пр-ва очевидна)

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШ-Й. ТЕОРЕМА О ФУНД. СИСТ. РЕШ-Й. БИЛЕТ№91 Опр. Мн-во реш-й однород. лин. сист. е1,е2...ее наз. фундаментальной сист. реш-й, если вып. 2 условия: 1) эти реш-я е1,е2..ее-лин независимы. 2) Люб. реш-е е данной сист. явл-ся лин. комбинацией решений е1,е2...ее. Теорема: ( о фундаментал. сист. реш-й). Если Rg A=r , а число неизвестных в сист.=n,то данная однород.сист. имеет фундаментал.сист. реш-й,состоящ. из n-r решений. Док-во:Допустим,что ранг м-цы А совпад.с числом неизвес.сист.т.е.r=n,тогда n-r=0 и дайствит-но,такая сист. имеет только нулевое реш-е,нулевое пр-во не имеет базиса,т.е. сущ. и фундаментал. сист. реш-й,в этом случае теорема верна. Допустим, что n>r, тогда по следствию из т-мы Крамера, n-r ур-й вычеркнуть из системы, вычеркиваются те ур-я,коэф-ты которых не входят в базисн. минор. В сист. остается только r- базисных ур-й вида: a11’x1+ a12’x2+...+a1r’xr=-a1r+1’xr+1-...-a1n’xn ............................ ar1’x1+ar2’x2+...+arr’xr=-arr+1’xr+1-...-arn’xn В правую часть перепишем те неизв-ные, коэф- ты при которых не входят в базис. минор, эти неизв-ные – –свободные, т.е. xr+1,xr+2...xn – принимают люб. возможные зн-я. Положем, что xr+1=1, а xr+2=...=xn=0, подставим с сист.,в результ.найдем единств. реш-е вида: е1=(r,1,0...0) Положем, чтоxr+2=1, а все остальные своб. члены =0, подставим в сист.,решим ее и найдем единств. реш-е е2 вида: е2= (...r и т.д. xn=1 остальные нули и получим .......en-r=(r, Сост. м-цу этих реш-й: r,1,0...0 ...r r,  В этой м-це n-r строк и n столбцов, т.к. минор вида: 1 0...0 1 1...0 =1 т.е. имеет порядок n-r, то этот минор явл 0 0...1 базисным, поэтому все строки м-цы явл. базисными, т.е. лин. независимыми и реш-я е1,е2...en-r явл. лин. независ. Возьмем люб.реш-е е=(n) покажем, что оно лин. выражается через е1,е2...en-r. Рассм. лин. комбинацию e0=e-r+ е1- -r+ е2-...-n en-r (1) Обычное выполнение преобразований показывает нам, что в результ.получ. реш-е вида: e0=(n 0,0...0), но тогда может получится только нулевое реш-е у однор. системы, т.е. e0=0, тогда из (1) что реш-е e=r+ е1+r+ е2+...+ +n en-r,т.е. е лин.выражается через реш-е e1,e2...en-r. Поэтому реш-я e1,e2...en-r явл фундаментал. сист. реш-й состоящей из n-r решений Алгоритм нахождения фундаментал. сист. реш-й: 1) Решаем данную однород. сист. и находим ее общ.реш. 2) Для n-r своб. неизвестных составляем таблицу: C1 C2 ... Cn-r Ф.С.Р. 1 0 0 0 е1=(r,1,0...0) 0 1 0 0 е2=(...r ... ... ... ... ... 0 0 0 1 er-n=(r,

ЛИН-НЫЕ ПРОСТРАНСТВА.БИЛЕТ№92 Опр.Мн-во всех действит.чисел или мн-во всех комплекс.чисел будем наз. полем (Р). Не пустое мн-во эл-тов V наз. лин. пр-вом над полем Р, а его эл-ты наз-ся векторами обозн-мые х,у если вып-ся условия: 1.В мн-ве V опр-на алгебр. операция сложения, т.е. для любой пары эл-тов х,у V единств.эл-т zV кот. наз-ся суммой векторов у и х ,т.е.х+у=z. Спр.оксиомы: а)сложение векторов в мн-веVкоммутативно,т.е.х+у=у+х б)ассоциативно, т.е (х+у)+z=x+(y+z) в) В мн-ве V нулевой эл-т, обозначаемый 0,такой, что для х из пр-ва V, сумма х+0=х г)для вектора х из V  противопол-ный ему эл-т –х  мн-вуV такой, что сумма х+(-х)=0 2.Определена операция умножения векторов из мн-ва V на число из поля Р,т.е для числа  из поля Р ивектора х из V  единств.вектор х Р и наз-мый произ-ем х на , при этом вып-ся оксиомы: д)1х=х для хР е)для любых чисел  и из поля Р и х их мн-ва Vспр. рав-во: ()х=х) 3.Операция сложения и умножения связаны дистрибутив. соотношениями: ж)для  х из V и любых и из поля Р; (ххх з)для  из Р и х и у изV спр. рав-во:х+ух+у Опр. ЕслиР- мн-во действ-ых чисел, то лин. пр-во V наз. лин-ным действит. пр-вом. Опр.Если Р- мн-во комплекс. чисел, то Vназ. компл. Лин

ПРОСТЫЕ СВ-ВА ЛИН-ОГО ПР-ВА.,БИЛЕТ№93 Св-во1: в любом лин. пр-ве Vтолько 1 нулевой эл-т Док-во: Пусть в лин. пр-ве V 2 различ. нулевых вектора О1 и О2, тогда для  х из V сумма х+О1=х. Положем,что х=О2,получ.О2+О1=О2=О1+О2=О1; О1=О2 Св-во2:Для каждого вектора лин. пр-ва V сущ. единств. противополож. ему эл-т. Док-во:Пусть в пр-ве V для х сущ. 2 противоп .эл-та –х2 и х1 ,т.е. получаем х+(-х)=0, тогда получаем (-х1) по оксиоме 3 он=(-х1)+0=(-х1)+(х+(-х2))=((-х1)+х)+(х2)= (х+(-х1))=О+(-х2)=(-х2); -х1=-х2 ч.т.д Св-во3: Для любого вектора из лин. пр-ва V произ-е 0х=0V Док-во:0х=0х+0=0х+(х+(-х))=по оксиоме5 =0х+(1х+ +(-х))=по ок.2 = (0х+1х)+(-х)= по ок.7=(0+1)х+(-х)= =х+(-х)=0 ч.т.д. Св-во4:Для любого числа из поря Р,0=0 Док-во: 0= (по св-ву3) (0=0)=(по окс.6)= (0)=00=(по св-ву3)=0 ч.т.д. Св-во5:Для люб. х из лин. пр-ва V имеем:-х=(-1)х Док-во: к рассматриваемому нами х+(-1)х=(по окс.5) =х+(-1)х=(по окс.7)=(1+(-1))х=х(по св-ву5)=0, получили х+(-1)х+0,т.е. (-1)х явл-ся противополож. для х, но по св-ву 2 вектор (-1)х=-х, т.е.явл.прот-ым. Св-во 6: для  числа  из поля Р и х из Vвып. рав-во: (-)х=-(х)=(-х) Док-во:(-)х=(-1)х=(по окс.6)=(-1)(х)= -(х)= =-(х)=(-1)х=((-1))х=(по окс.6)=((-1)х)=(-х) ч.т.д. Св-во 7: для любых иР и х из V вып. рав-во: (-)х=х-х Док-во: Св-во 8: для  из Р и любых х,у Vспр. рав-во: (х-у)=х-у Док-во:

ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПР-В. БИЛЕТ№М 94. ЛИН-НЫЕ ПРОСТРАНСТВА Опр.Мн-во всех действит.чисел или мн-во всех комплекс.чисел будем наз. полем (Р). Не пустое мн-во эл-тов V наз. лин. пр-вом над полем Р, а его эл-ты наз-ся векторами обозн-мые х,у если вып-ся условия: 1.В мн-ве V опр-на алгебр. операция сложения, т.е. для любой пары эл-тов х,у V единств.эл-т zV кот.наз-ся суммой векторов у и х ,т.е.х+у=z. Спр.оксиомы: а)сложение векторов в мн-веVкоммутативно,т.е.х+у=у+х б)ассоциативно, т.е (х+у)+z=x+(y+z) в) В мн-ве V нулевой эл-т, обозначаемый 0,такой, что для х из пр-ва V, сумма х+0=х г)для вектора х из V  противопол-ный ему эл-т –х  мн-вуV такой, что сумма х+(-х)=0 2.Определена операция умножения векторов из мн-ва V на число из поля Р,т.е для числа  из поля Р ивектора х из V  единств.вектор х Р и наз-мый произ-ем х на , при этом вып-ся оксиомы: д)1х=х для хР е)для любых чисел  и из поля Р и х их мн-ва Vспр. рав-во: ()х=х) 3.Операция сложения и умножения связаны дистрибутив. соотношениями: ж)для  х из V и любых и из поля Р; (ххх з)для  из Р и х и у изV спр. рав-во:х+ух+у Опр. ЕслиР- мн-во действ-ых чисел, то лин. пр-во V наз. лин-ным действит. пр-вом. Опр.Если Р- мн-во комплекс. чисел, то Vназ. компл. лин. ПРИМЕР 1.Рассм. мн-во V={0} и рассм.Р- поле действит. чисел. 1. 0+0=0 принадлежит V, т.е. в данном мн-ве опр-на операция сложения. Оксиома: а)0+0=0+0; б)...;в)0; г)0+0=0 2.  V. Все остальные оксиомы легко проверяются, т.е. мн-во V, состоящее из одного 0, образует действит. лин. пр-во, оно наз. нулевым и обозн. 0- нулевое пр-во ПРИМЕР 2. Рассм. мн-во V={...-2,-1,0,2...} 1. Т.к. сумма целых чисел всегда целое число и принадлежит V, то операция сложения в мн-ве V опр-на, при этом оксиомы а,б,в,г, выполняются. 2.т.к.произ-е целого числа на действ-ное не всегда дает целое число,то операция умнож. на число из поля Рне опр-на, поэтому мн-во всех целых чисел не явл.лин.пр-вом. ПРИМЕР 3. Проверка всех оксиом показывает,что мн- во всех действит. чисел явл. лин. пр-вом над мн-вом всех действит. чисел, т.е. каждое действит. число явл. вектором лин. пр-ва всех действит. чисел.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМАСТЬ ВЕКТОРОВ

ЛИНЕЙНОГО ПР-ВА. БИЛЕТ№95

Рассм. произвольное лин. пр-во над полем Р.

Опр. Если х из V=x1+x2+...+nxn,где n-

числа  Р, а x1...xn- векторы из V, то говорят, что х лин.

выражается или лин. разлогается по x1,x2...xn с

коэф-ми n, выр-е х1+х2+...+nxn- наз. лин.

комбинацией векторов x1,x2...xn.

Опр. Векторы х1.х2...хn лин. пр-ва V наз. лин.

зависимыми, если в поле Р сущ. числа 1,2...n

одновременно 0, для кот. вып. рав-во:

1х1+2х2+...+nxn=0

Опр. Векторы х1,х2...хn наз. лин. независимыми,

если рав-во 1х1+2х2+...+nхn=0 возможно только в

случае, когда 1=2=...=n=0

ПРИЗНАКИ ЛИН. ЗАВИСИМОСТИ ВЕКТОРОВ В

ЛИН. ПР-ВЕ. БИЛЕТ№96.

Теорема: мн-во векторов х1,х2...хn из лин. пр-ва V

будут лин. зависимы т. и т. тогда, когда хотя бы 1 из

этих векторов лин. выражаются через остальные.

Док-во:Необходимость. Пусть х1,х2...хn явл. лин

зависимыми, тогда по опр-ю спр. рав-во:

1х1+2х2+...+nхn=0, при этом не все коэф-ты

1,2...n=0. Допустим, что , тогда используя

св-ва лин. пр-ва справ. рав-во:1х1=-2х2-...-nxn,

умножим обе части рав-ва на 1/1, тогда получится,

что х1=(-2/1)х2+...+(-n/1)xn, обозначим и это

рав-во как иn =х1=2х2+...+nxn, т.е. х1 лин.

выраж-ся через остальные мн-ва этого мн-ва:

х2...хn ч.т.д. Достаточность. Пусть 1 из векторов

мн-ва х1...хn лин. выражается через остальные

векторы этого мн-ва. Пусть хn=1х1+2х2+...+

+n-1xn-1, тогда следует рав-во: 1х1+2х2+...+

+n-1xn-1+ (-1)xn=0. Один из коэф-то число –10,

поэтому по опр-ю векторы х1,х2...хn явл. лин.

зависимыми ч.т.д.

Теорема: Если среди х1,х2...хn есть 0 , то всё это

мн-во линейно зависимо.

Док-во: Пусть х2=0, тогда спр. рав-во:

х+х+х+...+xn=0. Т.к. 1 из коэф-тов

отличен от 0, то это мн-во лин. зависимо ч.т.д.

Теорема: Если среди х1,х2...хn есть подмн-во лин.

Зависимых векторов, то и всё это мн-во лин. зависимо.

Док-во: Пусть х1,х2...хк, где к- <=n и лин. зависимы,

тогда сущ. числа 1,2...к одноврем., для которых

спр. рав-во: 1х1+2х2+...+кхк=0, но спр. рав-во:1х1+

+2х2+...+кхк+хк+1+0хк+2+...+0хn=0. При этом в

этой лин. комбинации есть коэф-ты отличные от 0,

поэтому х1,х2...хn – лин. зависимые.

БАЗИС ЛИН. ПР-ВА. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИН. ПР-ВА.

ТЕОРЕМЫ.БИЛЕТ№97

Опр. Мн-во из n векторов е1,е2...еn лин. пр-ва V наз.

базисом этого пр-ва, если выполн-ся 2 условия:

1.Векторы е1,е2...еn лин. независимы.

2. хV лин. выражается через е1,е2...еn,т.е. всегда

х=1е1+2х2+...+nеn, где 1, 2...n- числа Р.

Опр.Число n наз.размер-тью лин.пр-ваV,если вып.усл-я:

1) в пр-ве V сущ. мн-во из n- лин.независимых векторов.

2) мн-во из n+1 вектора пр-ва V лин.зависимо

Опр если n конечное число, то лин. пр-во Vназ. конечно

мерным.

Теорема: если V – n мерное лин. пр-во, то  мн-во

состоящ. из n его векторов образует базис этого пр-ва.

Док-во:т.к. по условию V- n мерное пр-во, то по

условию 1 из опр-я размерности в нем n лин.зависимых

векторов. Возьмем  мн-во состоящее из n лин. независ.

векторов пр-ва V: е1,е2...еnV. Добавим к ним произвол.

хV, тогда по условию 2, мн-во векторов е1,е2...еn,х

будут лин. зависимыми, т.к в нем n+1вектор, поэтому

ют числа 1,2..n и одновр.0 для кот.спр. рав-во:

1е1+2е2+...+nen+x=0. Если =0, то тогда спр.

рав-во: 1+2+...+nеn=0 , в кот. есть коэф-ты отличные

от 0, но тогда векторы е1,е2...еn должны быть лин.

зависимы, что противоречит их выбору, поэтому 

отсюда по осн. св-ву лин. пр-ва получ. рав-во:

х=-1х1-2х2-...-nxn умножим обе части на 1/, в

результате х=-1/е1-2/е2-...n/en. Обозначим

как 1и2, в результате х=1е1+2е2+...+nen,

т.е. х явл. лин. комбинацией векторов е1,е2...еn,

по опр-ю е1.е2...en образуют базис лин. пр-ва V ч.т.д.

КООРД-ТЫ ВЕКТОРА. ТЕОРЕМА О

ЕДИНСТВЕННОСТИ КООРД-Т ВЕКТОРА В ДАННОМ

БАЗИСЕ. БИЛЕТ№98

Опр. Если х=1е1+2е2+nеn, где е1,е2...еn- базис

пр-ва V, то упорядоченное мн-во чисел (1,2...n) наз.

коор-тами х в базисе е.

Теорема: Если V-произвол. лин. пр-во, то коор-ты хV

относительно базиса е1,е2...еn опр-ся однозначно

Док-во: Пусть х разлог-ся по базису е1,е2...еn двумя

различ. способами, пусть х=1е1+2е2+...+nen;

x=1е1+2е2+...+nen. Рассм. х-х=0= (1-1)е1+

+(2-2)е2+...+(n-n)en=0, т.к. е1,е2...еn лин.

независимы все коэф-ты в последн. рав-ве=0,

т.е.1-1==1 и 2-2==2...n=n

т.е. х может разлагаться по базису только одним

способом, т.е. коор-ты вектора относит. одного базиса

опр-ся однозначно.

Теорема:1) при сложении двух векторов лин. пр-ва, их

соответст-щие коор-ты складываются

2)при умножении вектора на число все коор-ты

этого вектора умнож-ся на это число, т.е. если

х=(1,2...n); у=(1,2...n) в базисе е1,е2...еn, то х+у=

=(1+1,2+2...n+n), а х=(1,2...n)