Понятие матрици билет№75

Опр.М-цей А размером m*n наз-ся прямоуг. т-ца, в кот.

эл-ты записаны в m- строках и n- столбцах, т.е м-ца вида:

Опр.Если число строк =числу столбцов и =n,то м-ца наз. кв.

порядка n а11а12...а1n побочная диагональ

А= а21а22...а2n

an1an2...amn главная диагональ

Опр. Если в кв. м-це все эл-ты aij, где i j, равны нулю, то м-ца

наз.диагональной

Опр.Если на диагонали стоят все единицы,то м-ца наз. един-ой

Опр. Две м-цы наз-ся равными, если у них одинаковые

размеры и равные эл-ты на соотв-щих местах

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. БИЛЕТ№86.

Теорема Крамера: кв. система из n- лин. ур-й с

n- немзвестными у кот. опр-ль осн. м-цы 0, имеет реш-е,

причем единств-ое,которое наход. по ф-ле: Хi=i / 

где= А,а i-опр-ль м-цы полученной из осн. м-цы

заменой i-столбца, столбцом свободных членов i=1,2...n

Док-во: Запишем произвол. кв. систему, в матричном виде,

выпишем осн. м-цу А:

a11 a12... 1n x1 b1

А= a21 a22...a2n X= x2 B= b2 AX=B

an1 an2...ann xn bn

По условию, опр-ль осн. м-цы отличен от 0, т.е. А, тогда

для кв. м-цы А сущ. обр. м-ца A^-1. Умножим матричное

рав-во на A^-1; A^-1(Ax)=A^-1B; (A^ -1A)X=A^-1B;

X=A^1 B.Найдем x1,x2...xn,получ., что х1=

Выпишем обр. м-цу: A11 A12...An1

A^-1=1/АA12 A22...An2

A1n A2n...Ann

x1=1/A (A11b1+A21b2+...+Anbn) (1)

Выражение (1) предст. собой опр-ль м-цы полученной

из м-цы А заменой первого столбца своб. членов, т.е.

b1 a12...a1n

b2 a22...a2n =b1A11+b2A21+...+bnAn1=1, т.е.

bn an2...ann х1=/A=

Аналог. получается х2=/...xn=n/. Показали, что

реш-е существует. Единственность реш-йиз

рав-ва X=A^-1 B. Ввиду того, что обр. м-ца A^-1е

динственна для данной м-цы А и произ-е м-ц выполн.

однозначно.

Метод гаусса.Билет №87.

Теорема Крамера применяектся только к кв. системам,

и только в случае, когда опр-ль осн. м-цы А

Метод Гаусса применяется для люб. систмы- это один

из гл. методов реш-я систем.

Метод Гаусса- метод последовательного исключения

переменных. С пом. элементарных преобразований

строк расширенной м-цы D системы приводят к

ступенчатому виду м-цу А системы:

c11 c12...c1r...c1n d1

c21 c22...c2r...c2n d2

.................

0 0... crr... crn dr

0 0... 0... 0 dr+1

................

0 0... 0... 0 dm

( ciir). если среди чисел dr+1, dr+2..., dm есть

отличные от нуля, то система несовместна

Если dr+1=dr+2=...= dm=0, то:

1. при r=n исходная система равносильна системе

c11x1+c12x2+...+c1nxn=d1

c22x2+...+c2nxn=d2

..................

cnnxn=dn

имеющей единственное реш-е ( находим сначала из

последнего ур-я xn, из предпоследнего xn-1 и т.д. и из

первого x1)

2. при r<n исходная сист. равносильна системе

c11x1+c12x2+...+c1rxr=d1-c1r+1xr+1-...-c1nxn

c22x2+...+c2rxr=d2-c2r+1xr+1-...-c2nxn

.......................

crrxr=dr-crr+1xr+1 -...-crnxn

имеющий бесчисленное мн-во реш-й (xr+1,xr+2...xn-

-свободные переменные).