Ранг матрицы.Билет№82.

Опр.Минором к-ого порядка м-цы Аназ.люб.опр-ль м-цы

стоящей на пересечении любых к- строк и к-столбцов

м-цы А, т.е. минор первого порядка находится на

пересечении 1-ой строки и 1-ого столбца, т.е. люб.эл-нт

м-цы, явл-ся минором 1-ого порядка. Минор 2-ого

порядка стоит на пересеч. любых двух строк и любых

двух столцов м-цы А, т.е. в м-цы А есть мн-во различ.

миноров 2-ого порядка и т.д.

Опр.Минор порядка r-базисный минор м-цы А,если вып.

2 усл:1)этот минор отличен от 0;

2)все м-ры порядка r+1=0

Опр.Рангом не нулевой м-цы А наз.порядок ее базисного

минора. Ранг нулевой м-цы=0

Опр. Строки и с столбцы м-цы на пересечении которых

нах-ся базисный минор, наз-ся базисными строками и

базисн. столбцами.

МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ РАНГА М-ЦЫ. БИЛЕТ№83.

Теорема: Пусть м-ца А имеет минор порядка r отличный

от 0, если все миноры м-цы А порядка r+1 содержащие

данный минор=0, то и все миноры порядка r+1 м-цы А=0

Важное применение этой теоремы- это алгоритм нахожд.

ранга м-цы методом окоймляющих миноров:

1)Выбираем любой минор первого порядка, т.е эл-т

м-цы отличный от 0.Если таких нет, то Rg A=0.

2) Находят 1 отличный от 0 минор второго порядка,

окоймляющий не нулевой минор первого порядка. Если

таких нет, то Rg A=1 ч.т.д.

ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. БИЛЕТ№84.

Теорема (о базисном миноре)Базисные строки и базисные

столбцы м-цы А лин. независимы. Любая строка м-цы А

(столбец) явл. лин. комбинацией базисных строк м-цы

(столбцов).

Док-во:1. Не теряя общности считаем, что базисный

минор порядка r нах-ся на пересечении первых r- строк

и первых r- столбцовм-цы а, т.е. базисный минор:

a11 a12...a1r тогда обозначим через А1,А2...Аr-

 a21 a22...a2r базисные строки м-цы А. Допустим,

ar1 ar2... arr что эти строки явл. лин. зависимыми,

тогда одна из них явл. лин. комбинацией остальных

базисных строк, например пусть A1= 2A2+A3+...+

+rAr, тогда к первой строке базисного минора

прибавим вторую строку умноженную на -третью

строку, умноженную на -r-тую умноженную на -r.

В результате получим нулевую первую строку, т.е.

базисн. минор =0, чего не может быть, поэтому базисн.

строки явл-ся лин. независ.

2. Покажем, что любая строка м-цы явл. Лин.

комбинацией базисн. строк.Сначало возьмем люб.

базисную строку Ai; i=1,2,3...r, очевидно, что спр. рав-во:

Ai=0A1+0A2+...+0Ai-1+1Ai+0i-1+...0Ar, но это рав-во

показывает, что люб. базисная строка явл. комбинацией

всех базисных строк. Пусть Ai- не явл. базисной,

дополним базисный минор i- той строкой и любым

j- тым столбцом. Получ. минор:

a11 a12 ...a1r a1j Получился минор порядка r+1.

’= a21 a22 ...a2r a2j По опр-ю базисного минора

ar1 ar2 ... arr arj все миноры (r+1)-ого порядка

ai1 ai2 ... air aij равны 0, т.е. ’=0

Разложим опр-ль ’ по эл-там последн. столбца:

(-1)^1+1+1a1jM1r+1+(-1)^2+2+1a2jM2r+1+...+(-1)^r+r+

+1arjMrr+1+(-1)^r+1+r+1a1jMr+1r+1=0; Mr+1r+1=

=aija1jA1r+1-a2jA2r+1-...-arjArr+1;

aij= - A1r+1/a1j- A2r+1/a2j-...- Ar r+1/arj

Обозначим дроби как r, получим aij=

=a1j+a2j+...+rarj. Если j=1,2...m последовательно

принем. эти зн-я, то получим выр-я для всех эл-тов i-ой

строки. Из этих выр-й будет видно, что i- тая явл-ся лин.

комбинацией базисн. строк А1,А2...Аr ч.т.д.

Следствие 1. Ранг м-цы = max числу ее линейнонезавис.

строк (столбцов).

Следствие 2.Строки (столбцы) кв. м-цы А лин. независ.

т. и т. т., когда опр-ль этой м-цы =0

СИСТЕМЫ ЛИН. УР-Й. ОСН. ПОНЯТИЯ. БИЛЕТ№85.

Опр. Системой лин. алгеброич. ур-й с неизвестными х1,х2...,хn

наз. совок. ур-й: a11x1+a12x2+...+a1n xn=b1

a21x2+a22x2+...+a2n xn=b2

am1x1+am2x2+...+amnxn=bn

Опр. Если число ур-й совпадает с числом неизв-ых, т.е m=n, то

система наз-ся квадратной

Опр. Число aij, где i-номер ур-я, j-номер неизвестного наз.

коэ-том при неизвестных числа b1,b2...,bm-свободным членом.

Опр. Система имеющая хоты бы одно решение, наз-ся

совместной, система неимеющая ни одного реш. наз. несовм.

Опр. Система имеющая точно одно реш-е наз. опр-ой.

Опр. Система имеющая более одного реш-я наз. неопр-ой.

Опр. Две системы наз-ся эквивал-ми, если все реш-я одной из

них также явл-ся реш-ями другой и обратно.

Опр. Элементарными преобразованиями системы наз-ся:

1.замена местами любого ур-я системы.:

2.умножение ур-й на любые числа отличные от нуля.

3.прибав-е один одному ур-ю другого, умнож-е на любое число

Опр.Прямоуг-я таблица,состоящая из коэ-тов при неизвестных

системы 1 наз-ся осн-ой м-цей системы.

a11 a12...a1n

А= a21 a22 ...a2n -основная м-ца.

am1 am2... amn

Опр.Таблица,сост. из свободн.членов, наз-ся столбцом св.чл.