Билет№80 Свойства определителя:

1. Каков бы ни был номер строки опр-ля, справедл. ф-ла

А =( -1)^i+1 ai1Mi1+(-1)^i+2 ai2Mi2+...+(-1)^i+n ainMin ,т.е.

опр-ль разлаг-ся по кажд. своей строке.A= (-1)^i+j aijMij

2. Опр-ль разлаг-ся по кажд. j-тому ст-цу м-цы, т.е. опр-ль

A =(-1)^1+j a1jM1j+(-1)^2+j a2jM2j+...+(-1)^n+j aijMij

Опр.: М-ца А^т наз.транспонированной м-цей к м-це А, если

эл-т (i,j)м-цы А явл. (i,j)-тым эл-том м-цы А^т, т.е. если эл-т аij

стоит в j-том столбце и i-той стр.,то в м-це А^т этот эл-нт нах-ся

в j-той стр. и i-том столбце.

3.При транспонир. кв. м-цы опр-ль не меняется, т.е. опр-ль

м-цы А = опр-лю м-цы А^т .

4.При перестановке местами двух любых строк м-цы (столбц)

опр-ль сохран. абсол-ую величину, но меняет знак на противо-

положн.

Опр.Известное определен.линейной завис-ти для векторов

справедливо также и для строк (столбцов) м-цы.

5. Если в м-це А i-тая строка (столбец) явл. линейной комбинац.

строк В=(b1,b2,...,bn) и С=(с1,с2,...,сn) с коэф-ми ,,тоA=A+

+A2, где А1- м-ца, получ. из м-цы А заменой её i-той строки

строкой В,а м-ца А2 получ. из м-цы А заменой её i-той стр.

строкой С.

6. Если в кв. м-це есть 2 одинак. строки (столбца), то опр-ль

этой м-цы =0.

Билет№80 Свойства определителя:

1. Каков бы ни был номер строки опр-ля, справедл. ф-ла

А =( -1)^i+1 ai1Mi1+(-1)^i+2 ai2Mi2+...+(-1)^i+n ainMin ,т.е.

опр-ль разлаг-ся по кажд. своей строке.A= (-1)^i+j aijMij

2. Опр-ль разлаг-ся по кажд. j-тому ст-цу м-цы, т.е. опр-ль

A =(-1)^1+j a1jM1j+(-1)^2+j a2jM2j+...+(-1)^n+j aijMij

Опр.: М-ца А^т наз.транспонированной м-цей к м-це А, если

эл-т (i,j)м-цы А явл. (i,j)-тым эл-том м-цы А^т, т.е. если эл-т аij

стоит в j-том столбце и i-той стр.,то в м-це А^т этот эл-нт нах-ся

в j-той стр. и i-том столбце.

3.При транспонир. кв. м-цы опр-ль не меняется, т.е. опр-ль

м-цы А = опр-лю м-цы А^т .

4.При перестановке местами двух любых строк м-цы (столбц)

опр-ль сохран. абсол-ую величину, но меняет знак на противо-

положн.

Опр.Известное определен.линейной завис-ти для векторов

справедливо также и для строк (столбцов) м-цы.

5. Если в м-це А i-тая строка (столбец) явл. линейной комбинац.

строк В=(b1,b2,...,bn) и С=(с1,с2,...,сn) с коэф-ми ,,тоA=A+

+A2, где А1- м-ца, получ. из м-цы А заменой её i-той строки

строкой В,а м-ца А2 получ. из м-цы А заменой её i-той стр.

строкой С.

6. Если в кв. м-це есть 2 одинак. строки (столбца), то опр-ль

этой м-цы =0.

7.Если строку (столбец) опр-ля умнож. на какое-то число, то

опр-ль тоже умн-ся на это число.

8.Если все эл-ты какой-то стр. (столбца) = 0, то опр-ль м-цы=0.

9.Если эл-ты двух строк (столбцов) соответственно пропорц-ны

то опр-ль м-цы =0.

10.Если к эл-там некоторой строки опр-ля прибавить соотв-щие

эл-ты др. строки м-цы, умнож-ные на число х, то опр-ль не

изменится, то же для столбцов.

Опр. Алгебраич-ким дополнением эл-та aij кв. м-цы А наз-ся

число, обозн. Аij=(-1 )^i+j Mij

Т-ма об алгабраич. дополнениях: Сумма произведений

Любой строки м-цы на соотв-щие алгебраические

дополнения эл-товдр. строки этой м-цы=0

ОБР. М-ЦА. ТЕОРЕМА О СУЩ. ОБР. М-ЦЫ БИЛЕТ№81

Опр.М-ца В наз-ся левой обратн.м-цей к кв.м-цы А, если ВА=Е,

где Е-единичная м-ца, т.е. м-ца вида 1 0 ...0

Е= 0 1 ...0

0 0 ...1

Опр.М-ца С наз-ся правой обр. м-цей к м-це А, если АС=Е

Опр. М-ца А^ -1 наз-ся обр. м-цей для кв. м-цы А, если

произв-е АА^ -1=А^ -1А=Е

Теорема: Если для кв. м-цы А сущ. как левая, так и правая обр.

м-цы,то они совпадают

Теорема:( о сущ.обр-ной м-цы).Кв.м-ца А имеет обр-ную

м-цу А^ -1,т. и. т. тогда, когда опр-ль м-цы А 0,

т.е  А^ -1 А0

Док-во:Необходимость.Пусть м-ца А^1для м-цы А,т.е. АА^ -1=Е,

найдем опр-ль произ-я:AA^ -1АA^1=E=1,

т.е.AA^1AA^1ч.т.д.

Достаточность. Рассм. произвол. кв. м-цу:

а11 а12 а1n

А= a21 a22 a2n

an1 an2 ann и пусть опр-ль м-цы А отличен от 0.

Рассм. м-цу В:

А11 A21...An1

В=1/АА12 A22...An2

А1n A2n...Ann

Найдем произв-е АВ:

c11 c12...c1n

ОБР. М-ЦА. ТЕОРЕМА О СУЩ. ОБР. М-ЦЫ БИЛЕТ№81

Опр.М-ца В наз-ся левой обратн.м-цей к кв.м-цы А, если ВА=Е,

где Е-единичная м-ца, т.е. м-ца вида 1 0 ...0

Е= 0 1 ...0

0 0 ...1

Опр.М-ца С наз-ся правой обр. м-цей к м-це А, если АС=Е

Опр. М-ца А^ -1 наз-ся обр. м-цей для кв. м-цы А, если

произв-е АА^ -1=А^ -1А=Е

Теорема: Если для кв. м-цы А сущ. как левая, так и правая обр.

м-цы,то они совпадают

Теорема:( о сущ.обр-ной м-цы).Кв.м-ца А имеет обр-ную

м-цу А^ -1,т. и. т. тогда, когда опр-ль м-цы А 0,

т.е  А^ -1 А0

Док-во:Необходимость.Пусть м-ца А^1для м-цы А,т.е. АА^ -1=Е,

найдем опр-ль произ-я:AA^ -1АA^1=E=1,

т.е.AA^1AA^1ч.т.д.

Достаточность. Рассм. произвол. кв. м-цу:

а11 а12 а1n

А= a21 a22 a2n

an1 an2 ann и пусть опр-ль м-цы А отличен от 0.

Рассм. м-цу В:

А11 A21...An1

В=1/АА12 A22...An2

А1n A2n...Ann

Найдем произв-е АВ:

c11 c12...c1n

АВ= c21 c22...c2n

cn1 cn2...cnn

c11=1/A a11A11+a12A12+...+a1nA1n)= 1/AА

с12=1/A a11A12+a12A22+...+a1nA2n)=0

И т.д., получим что эл-ты Сij=0,i j получим, что Сii=1,

т.е. получается, что 1 0 ...0

АВ= 0 1 ...0 =Е

0 0 ...1

М-ца В явл. правой обр. м-цей к А. Аналог. получается, что

ВА=Е, т.е. В явл. левой обр. и по предыдущ. теореме получ-ся,

что м-ца В явл. обратной к м-це А она  ч.т.д.