№2Коллинеарные векторы

Опр. 2 вектора наз-ся коллениарными, если  прямая

параллельная каждому из них, т.е. коллениар-ные

векторы лежат либо на одной, либо на парал-ых прямых.

Опр.Вектор а наз. противоположным b, если они

коллениарны, имеют равные модули и

противоположное направление.

Опр. 2 вектора наз. равными, если они коллениарны,

имеют равные модули и одинак. направление.

компанарные векторы БИЛЕТ№3

Опр. 3 вектора наз. комплонарными, если  пл-ть

паралльная каждому из них, т.е. комплонар. векторы

либо лежат в одной пл-ти, либо в параллельн. пл-тях.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

.(СУММА ВЕКТОРОВ)

БИЛЕТ№4

Опр. Суммой а и b наз. вектор с, обозначаемый

с=а+b, начало кот. совпадает с началом вектора а,

а конец с концом вектора b при условии, что

коней а явл. началом вектора b

умножение вектора на число БИЛЕТ№5

Опр. Произведение а на действит. число наз-ся b

обозначаемый через а, кот. наход. по условию:

1)bа

2) b=а

b одинак. направлена с а, если  положит, и

b противополож. направлен а, если - число отриц.

Замечание. В случае, когда =0 или а=0, произ-ние а

представляет собой нулевой вектор, направление

которого неопределено

св-ва линейных операций БИЛЕТ№6

Операция сложения векторов облад. св-вами:

1. Сложение векторов коммутативно, т.е.a+b=b+a

2. Сложение векторов ассоциативно.т.е.

(a+b)+c=a+(b+c)

3. Для любого а сумма векторов а+b=a

4. для а противоп. Ему вектор –а, такой что

а+(-а)=0

Операция умножения вектора на число обладает

св-вами:

5. 1а=а. Проверим 1а=b по условиям:

b=1 a=a ; b=1a=a

6.Для любого и  спр. рав-во ( )а=(а)

Док-во осуществляется проверкой: операции

сложения и умножение на число связаны двумя

дистрибутив. св-вами:

7. (+)а=а+а

8. (a+b)=a+b

Теорема: мн-во всех геометр. векторов явл. лин.

пр-вом над полем действит. чисел, при этом мн-во

геом. векторов принадлежащих одной пл-ти явл.

лин. пр-вом.

БИЛЕТ№7 РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ..

Опр. Разностью векторов а и b наз. вектор a-b=a+(-b).

Вывод: если а –b приведены к общ. началу, то разность

а-b явл. вектором идущим из конца b в конец а. Если.

Vа- скорость точки А и Vв- скорость точки В, то

РазностьVа-Vв дает относит. скорость точки А.

БИЛЕТ№8. ЛИН. КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ

Лин. комбинация двух векторов

Теорема:Необходимым и достаточным условием лин-ой

зависимости двух векторов явл. их коллениарность

Док-во:Необходимость.Пусть 2 вектора а и b лин.

зависимы.Докажем коллениарность этих векторов. По

опр-ю лин.зависимости найдутся такие веществ. числа

 и, хотя бы одно из которых отлично от нуля, спр.

рав-во: a+b=0 (1) Пусть, ради определённости

отлично от нуля число . Тогда из рав-ва (1) ( по

средствам деления этого рав-ва на  ипереброски одного

члена в правую часть) получим след. рав-во: b= - /a

Вводя обозначение =-/, получили, что b=а.Т.о.

вектор b= произв-ю вектора а на вещественное число .

По опр-ю произв-я вектора на число векторы а и b

коллениарны

Достаточность.Пусть векторы а и b коллениарны.

Докажем,что эти векторы лин. зависимы. Если хотя бы

один из векторов а и b нулевой, то эти векторы лин.

зависимы. Т.о. нам нужно рассм. лишь случай, когда

векторы а и b ненулевые. Но если вектор а ненулевой,

то из коллениарности векторов а и b вытекает

существование такого веществ. числа , что b=а или

а+(-1)b=0 (2) Т.к. из двух чисел  и –1одно отлично

от 0, то рав-во (2)док-ет лин.зависимость векторов а и b

Лин. Зависимость геом. Векторов.Билет№9

1. Рассм. Мн-во всех векторов -щих фиксир. Прямой l

и обозн. мн-во В1, очевидно, что все векторы из

мн-ва В1 явл. коллениарными

Теорема: 2 вектора коллениарны т. и т. тогда, когда они

лин. зависимы

Док-во: необходимость. Пусть вектор a  b, если один

из этих векторов нулевой, то они лин. зависимы по.

признаку 2. Пусть оба не нулевые и одинаково направлены, ,

найдем модуль а и b, очевидно, что b=b/a а, это

легко проверить по опр-ю произ-я вектора на число, в

случае когда а и b направлены противоп-но, тогда

b= -b/aа. Обозначим через  либо =-b/a, тогда

получаем b= а либо а+(-1)b=0, т.о. –10, поэтому

векторы а и b лин. зависимы ч.т.д.

Достаточность. Пусть а и b явл. лин. зависимыми,

тогда по признаку 1,хотя бы один из них лин.

выражается через второй. Пусть а=b, тогда по опр-ю произведение вектора на число аb ч.т.д.

Теорема: не нулевой вектор прямой, образует базис

лин. пр-ва В1.

Док-во: Возьмем любой не нулевой вектор е на данной

прямой, т.к. рав-во е1=0 спр-во только в случае, когда

=0, то е1 лин. независим. Покажем, что  вектор хВ1

явл. лин. комбинацией е1, т.к. хе1, то по следствию

предыдущ. теоремы (не нулевой вектор аb тогда и

т. т. когда b= а), х=е что и требуется, по опр-ю обр.

базис пр-ва В1 ч.т.д.

2. Рассм. Лин. Пр-во геометрич. Векторов -щих фиксир.

пл-ти L. Очевидно, что все векторы из В2 будут комплонар.

Теорема: 3 вектора комплонарны т. и т. тогда, когда они

линейно зависимы.

Док-во: необходимость. Пусть 3 вектора a,b,c – комплонарны,

если среди них есть нулевой вектор или пара комплонар.

векторов, то три вектора лин. зависимы по признакам 2,3

поэтому 3 вектора не нулевые и попарно не комплонарны.

Приведем их к общ. началу, получим параллелограмм, при

этом ОС=С=ОА+ОВ

ОАа следствию получаем ОА=а

ОВb по следствию получаем ОВ=b, подставим это в

первое рав-во: с=а+ b т.к. а и b лежат в одной пл-ти,

в ней же лежат векторы а и b, то вектор с, кот. явл. их

суммой, тоже лежит в этой пл-ти, поэтому 3 вектора а ,b,с

явл. комплонарными, спр. рав-во: а+b+(-1)c=0, т.к. коэф-т

-1 отличен от 0, то по опр-ю a,b,c лин. зависимы.

Достаточность. Пусть a,b,c, лин. зависимы, тогда по

первому признаку хотя бы 1 из них лин. выражается

через остальные. Пусть c=a+b, тогда a и b образуют

пл-ть в кот. лежит вектор с, в этой же пл-ти лежит а и b,

т.е. 3 вектора a,b,c, явл. комплонарными.

Теорема: Базис лин. пр-ва В2 состаит из двух любых

не комплонарных векторов.

Док-во: Рассм. 2 любых не комплонар. вектора е1,е2 на

пл-ти, по предыдущ. теореме е1 и е2 лин. независимы,т.е.

первое условие опр-я базиса выполняется. Покажем, что

любой х в пл-ти лин. выражается через е1 и е2,т.к. 3 вектора

х,е1,е2 комплонарны, то они лин. завитсимы, поэтому -ют

,,одновременно 0 для кот. вып. рав-во:е1+е2+х=0.

Допустим. что  =0, тогда спр. рав-во:е1+е2=0, при чем

 или  отличен от 0, то тогда е1 и е2 должны быть лин.

завыисимы они коллениарны, что противоречит условию,

поэтому 0 и спр. рав-во:х=-е1-е2 умножим на 1/ =x=-

- /e1-/e2 обозначим /=1, -/ =B1, то спр. рав-во:

х=е1+е2, т.е. выполн. и второе условие, поэтому е1 и е2

обр. базис пр-ва В2

3.Теорема: 4 геометрич. вектора всегда лин. зависимы.

Док-во: Рассм. 4 произвол. геом. вектора a,b,c,d, если среди

них есть нулевой вектор или 2 коллениарных или

3 комплонар., то мн-во явл. лин. зависимым. Поэтому

исключим эти случаи и приведем векторы к общ. началу

Из рис. видно, что С=ОD+DС из рис. по построению

видно DСd  DC=d; ОD=ОА+ОВ;ОАа, по следствию

ОА= а;ОВb, поэтому ОВ=b, подставим эти

выражени в первое рав-во: C=ОА+ОВ+DС=а+b+d,

получаем что a+b+d-c=0 или a+b+d+(-1)c=0,

т.к. –10, то a,b,c,d- лин. завимисые.

Теорема: Базис лин. пр-ва всех геометрич. векторов состоит

из любых трех не комплонар. векторов.

Док-во: В пр-ве всех геом. векторов В3, три любых не

комплонар. вектора е1,е2,е3. Очевидно, что 3 не комплонар.

вектора лин. независимы, покажем что любой вектор х лин.

выражается через е1,е2,е3, по теореме мн-во х,е1,е2,е3, явл.

лин. независимым, т.е. спр. рав-во:х+е1+е2+е3=0, при

этом хотя бы 1 отличен от 0, очевидно, что 0 поэтому

х= - е1 – е2- е3 или х=/e1-/e2- /e3=

=(заменим на 1,2,3 )=x= e1+ e2+ e3 т.е. показали,

что х лин. выраж-ся через е1,е2,е3,поэтому е1,е2,е3 обр.

базис лин. пр-ва всех геом. векторов.