21. Равномерное распределение в интервале.

Непрерывная СВ Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности p(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

p(x)=

Из условия нормировки следует, что , откуда

, таким образом

p(x)=

Вероятность попадания равномерно распределенной СВ на интервал [α,β]:(a≤α<β≤b):

P(α<X<β)= .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону может быть найдена по общему интегральному закону

F(x) = ,и имеет вид:

F(x) =

Математическое ожидание: M(x) =

Дисперсия: D(x) =

22. Показательное распределение.

НСВ Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид:

p(x) =

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

F(x) =

Математическое ожидание находится по формуле:

M(x) =

Дисперсия:

D(x) =

Вероятность попадания СВ X, распределенной по показательному закону в интервал (a, b) находится по формуле:

P(a<X<b)= .

23. Нормальный закон распределения.

В теории вероятностей и математической статистике важнейшую роль играет так называемое нормальное или гауссовское распределение. Значимость нормального распределения определяется тем, что оно служит хорошим приближением для большого числа наборов случайных величин.

НСВ Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ² , если ее функция плотности вероятности имеет вид:

p(x) = , -∞<x<+∞.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или кривой Гаусса.

Для СВ, распределенной по нормальному закону

M(X) = a ,

D(X) = 𝜎².

Сложность нахождения функции распределения F(x) с использованием интеграла связи для нормального закона связана со сложностью нахождения интеграла вида:

F(x) =

Т.к. он не берется в элементарных функциях этот интеграл можно представить через функцию Лапласа.

Ф(х) =

Функция распределения СВ Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле

F(x) =

Вероятность попадания значений НСВ Х в интервал [α,β] определяется формулой

P(α ≤ x ≤ β) = F(β)-F(α) = [Ф(

Вероятность того, что отклонение СВ Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину 𝜎>0 (по абсолютной величине), равна

p(|x-a|≤δ)=p(a-δ≤ x ≤a+δ)= [Ф( = Ф( ).

«Правило трех сигм»: Если СВ Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и 𝜎², т.е. N(a;𝜎²), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a-3𝜎; a+3𝜎)

P(|x-a|≤3𝜎) = Ф( ) = Ф(3) = 0,9973.

24. Закон больших чисел.

Под этим понятием скрывается ряд теорем, которые имеют большое значение в МС.

1-ая теорема: Неравенство Маркова.

Если СВ Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для положительного числа А верны неравенства:

p(x>A) ≤

p(x≤A) ≥ 1 -

2-ая теорема: Неравенство Чебышева.

Для любой СВ Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию справедливо неравенство

P(|x-M(x)|>ɛ) ≤

P(|x-M(x)|≤ɛ) ≥ 1 -

3-яя теорема: Теорема Чебышева.

Если СВ х₁, х₂, …,х_n попарно независимы, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной величиной (D(x)≤C), то при неограниченном увеличении n(n→∞) и для сколь угодно малого числа ɛ имеет место равенство

4-ая теорема: Теорема Бернулли.

Частость (частота) события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном испытании.

Или

.