17. Моменты случайных величин.

Среди числовых характеристик СВ особое значение имеют моменты–начальные и центральные.

Начальным моментом k-го порядка СВ X называется математическое ожидание k-ой степени этой величины:

Центральным моментом k-го порядка СВ X называется математическое ожидание k-ой степени отклонения СВ X от ее математического ожидания.

При k=1 первый начальный момент СВ X есть ее математическое ожидание, т.е. ;при k=2 второй центральный момент–дисперсия, т.е.

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты по формулам:

и т.д.

Например,

18. Биномиальное распределение и его характеристики.

Если CВ Х принимает значения, равные 0, 1, 2…n с соответствующими вероятностями, представленными в таблице:

	0	1	2	…	n
				…

то имеем дело с биномиальным законом распределения.

Очевидно, что определение биномиального закона распределения корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона (отсюда и название закона – биномиальный):

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, вычисляются соответственно по формулам:

M(X)=np

D(X)=npq

19. Распределение Пуассона.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только

целые неотрицательные значения (0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых бесконечна, но счетна. Такая случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет значение т, выражается формулой Пуассона:

P(X=m)= ,

где λ – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения Пуассона имеет вид:

	0	1	2	…	m	…
		λ		…		…

Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо сумма всех вероятностей равна 1:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х,распределенной по закону Пуассона, вычисляются соответственно по формулам:

M ( X ) = λ

D( X ) = λ

20. Геометрическое и гипергеометрическое распределения.

1)ДСВ Х, принимающую только целые положительные значения (1, 2,…,т,…), последовательность которых бесконечна, но счетна, имеет геометрическое распределение, если вероятность того, что она примет значение т, выражается формулой:

P( X=m)=pqm−1

Ряд распределения геометрического закона имеет вид:

	1	2	…	m	…
	p	pq	…	p	…

Покажем, что определение геометрического закона корректно:

, здесь использована формула S= – суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х,

распределенной по геометрическому закону, вычисляются соответственно по формулам:

M(X)=

D(X)=

2)Пусть имеется N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком А. Извлекаются случайным образом без возвращения n элементов. Х – дискретная случайная величина, число элементов обладающих признаком А, среди отобранных n элементов. Вероятность, что Х=m, где m=0, 1, 2,…,min{n,M}, определяется по формуле:

P(X=m)=

Математическое ожидание и дисперсия CВ, распределенной по гипергеометрическому закону, определяется формулами:

M(X)=n

D(X)=n