15. Математическое ожидание случайной величины и его свойства

1. Математическое ожидание м(х) дискретной случайной величины

Пусть случайная величина Х может принимать только значения , вероятности которых соответственно равны . Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством

.

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому значений случайной величины: .

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой посто­янной

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий

.

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю

2)Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

где р(х) — плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то

16. Дисперсия случайной величины и ее свойства

1. Дисперсия случайной величины

Только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

.

Дисперсия — это мера рассеяния случайной величины около ее математического ожидания.

Если Х — дискретная случайная величина, то дисперсию вычисляют по следующим формулам: , где а = М(Х); .

Свойства дисперсии случайной величины

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии

.

Среднее квадратическое отклонение характеризует степень отклонения случайной величины от ее математического ожидания и имеет размерность значений случайной величины.

2. Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством

если интеграл сходится, или равносильным равенством

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то

или

Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством

.