7. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Определение. Набор событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны и их сумма составляет достоверное событие

Формула полной вероятности. Пусть события образуют полную группу событий ( ) и событие А может произойти с одним и только с одним из этих событий. Тогда вероятность события А равна .

Формула Байеса. Если событие А произошло, то условные вероятности (апостериорные) гипотез вычисляются по формуле Байеса

,

где Р(А) — вероятность события А, вычисленная по формуле полной вероятности.

8. Формула Бернулли

Ряд классических распределений связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания, и наблюдается результат совместного осуществления тех или иных исходов каждого испытания.

Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.

Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех») и с неизменными вероятностями «успеха» (р) и «неуспеха» в каждом испытании (схема испытаний Бернулли).

Вероятность получить ровно m успехов в n независимых испытаниях вычисляется по формуле, называемой формулой Бернулли

.

Определение. Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.

Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами и : . Если — целое число, то наивероятнейших чисел два и .

9. Формула Пуассона

Теорема 1 (Пуассона). Предположим, что произведение является постоянной величиной, когда n неограниченно возрастает. Обозначим Тогда для любого фиксированного и любого постоянного : .

В случае, когда n велико, а р мало (обычно ; ) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

, где

10. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Теорема 2 (Локальная теорема). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит раз, приближенно равна (чем больше n, тем точнее) значению функции

, где , .

Теорема 3 (Интегральная теорема). Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n испытаниях число успехов m находится между и , приближенно равна (чем больше n, тем точнее)

, где р — вероятность появления успеха в каждом испытании, , .

Из интегральной теоремы Лапласа можно получить формулу

.

11. Дискретные случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначают случайные величины буквами Х, Y, Z, а их возможные значения — х, у, z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным.

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения — это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:

Х			…
Р			…

, .

События образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице: .

Ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей. Для этого по горизонтальной оси в выбранном масштабе нужно отложить значения случайной величины, а по вертикальной — вероятности этих значений, тогда точки с координатами будут изображать полигон распределения вероятностей; соединив же эти точки отрезками прямой, получим многоугольник распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения. Функцией распределения случайной величины Х называется функция , выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х:

Функцию иногда называют интегральной функцией распределения.

Если значения случайной величины — точки на числовой оси, то геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х попадает левее заданной точки х: