4. Классическая формула вероятности. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности

Классическое определение вероятности

Классической схемой, или схемой случаев, называется испытание, при котором число элементарных исходов конечно и все из них равновозможны.

Элементарное событие (исход) ω называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступление события А (т.е. ω входит в число элементов, составляющих А).

Классической вероятностью события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу n всех эле-ментарных событий этой схемы .

Из определения вероятности следует, что Р (Ø) = 0, и .

Статистическая вероятность

Существует большой класс событий, которые могут появиться в результате испытаний, не обладающих симметрией возможных исходов. Так, например, из соображений симметрии невозможно определить вероятность раскрытия какого-либо типа преступления конкретным следователем или вероятность рождения определенного количества мальчиков в год. В этих случаях вероятность случайного события можно определить исходя из того, насколько часто данное событие будет появляться в однотипных испытаниях.

Если производится серия из n испытаний, в каждом из которых может появиться (или не появиться) случайное событие А, то отношение числа испытаний, в которых появилось событие А - m, к общему числу испытаний n называют статистической вероятностью события А в данной серии испытаний Итак, статистическая вероятность случайного события А равна относительной частоте появления этого события в ряде испытаний, т.е. , где m – число испытаний, в которых появилось событие А; n – общее число испытаний.

Геометрические вероятности

Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объему и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы.

Если геометрическая мера всей области равна S, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть , то вероятность события равна . Области могут иметь любое число измерений.

5. Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий Р(А + В) = Р(А) +Р(В).

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: .

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления Р(А + В) = Р(А) +Р(В) – Р(АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий

6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Условной вероятностью события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В. (Условную вероятность будем рассматривать лишь для таких событий В, вероятность наступления которых отлична от нуля).

Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло обозначается символами или .

Определение 2. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В с , называется число , которое определяется формулой

.

Свойства условных вероятностей

1) ; 2) ; 3) ; 4) если , то ; 5) .

Определение 3. Событие А называется независимым от события В с , если , т.е. вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

.

В частности для независимых событий , т.е. вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленную в предположении, что все предыдущие события уже наступили

.

В частности, вероятность совместного наступления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

.

Вычисление вероятности появления хотя бы одного из совместных событий можно вычислять как разность между единицей и вероятностью произведения противоположных событий :

.

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

.