2. Элементы комбинаторики, размещения, перестановки, сочетания

Комбинаторика (от лат. соmbinatio — соединение)- это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Группы, составленные из каких-либо предметов, называются соединениями (комбинациями).

Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.

Соединение называется упорядоченным, если в нем указан порядок следования элементов.

Основные правила комбинаторики:

1. Правило суммы. Если два действия взаимо исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить m способами, а другое — n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно n + m способами.

2. Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то k действия. Если первое действие можно выполнить способами, после этого второе действие можно осуществить способами и т.д. и, наконец, после осуществления - го действия, k-е можно выполнить способами, то все k действия вместе могут быть выполнены способами.

Эти правила дают удобные универсальные методы решения многих комбинаторных задач.

Основные комбинаторные формулы

1) Размещения. Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m в каждом обозначается символом и вычисляется по формуле:

,

где (считается, что 0! = 1).

2)Размещения с повторениями. Каждое размещение с повторениями из n элементов по m элементов может состоять не только из различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов, взятых из данных n элементов.

Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.

Число размещений с повторениями из n элементов по m элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:

3)Сочетания. Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m в каждом обозначается символом и вычисляется по формуле:

, где .

4)Сочетания с повторениями. Сочетание с повторениями из n элементов по m элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно или не содержать его совсем, т.е. каждое сочетание из n элементов по m элементов может состоять не только из m различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m обозначают символом и вычисляют по формуле:

.

В сочетаниях с повторениями m может быть и больше n.

5)Перестановки. Перестановками из n элементов называются такие соединения, из которых каждое содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом , это то же самое, что число размещений из n элементов по n в каждом, поэтому

.

6)Перестановки с повторениями. Пусть имеются n элементов, среди которых элементов одного типа, элементов другого типа, элементов l-го типа . Число перестановок из этих n элементов равно числу перестановок с повторениями, обозначается и вычисляется по формуле:

.