8. Частость как точечная оценка вероятности

Обозначим через р неизвестную вероятность появления случайного события А в единичном испытании. Приближенное значение вероятности р определяется в виде

,

(2.44)

где - частость появления события А в n испытаниях;

m - число появления события А в n испытаниях.

Серия независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью q=1-p, является последовательностью испытаний Бернулли.

Теорема. Пусть m - число наступлений события А в n независимых испытаниях, р - вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда - состоятельная, несмещенная и эффективная оценка вероятности р.

9.Понятие об интервальной оценке параметров распределения.

В ряде задач требуется не только найти для параметра θ подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Для определения точности и надежности θ∗ в МС вводят понятие доверительного интервала и доверительной вероятности. Пусть для параметра θ из опыта получена несмещенная оценка θ∗. Оценим возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность такую, что событие с вероятностью γ можно считать практически достоверным. Найдём такое значение ε, ε>0, для которого вероятность отклонения оценки на величину, не превышающую ε, равна γ: (2.20) Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене θ на θ*, будет равен ± ε. Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться с малой вероятностью α =1 −γ . Перепишем уравнение (2.20) в виде: (2.21) Равенство (2.21) означает, что с вероятностью γ неизвестное значение параметра θ попадает в интервал , равный (2.22) который является случайным, т. к. случайным является центр θ* интервала .Случайной является и его длина, равная 2ε, т.к. ε, как правило, вычисляется по опытным данным. Поэтому в (2.21)величину γ лучше толковать не как вероятность γ попадания точки θ в интервал , а как вероятность того, что случайный интервал накроет точку θ:

θ*– центр доверительного интервала,

Вероятность γ принято называть доверительной вероятностью (надежностью), а интервал – доверительным интервалом. Интервал будем называть доверительным для оценки параметра, при заданной доверительной вероятности γ или при заданном уровне значимости α = 1− γ, если он с вероятностью γ "накрывает" оцениваемый параметр θ, т.е. (2.23)

Границы интервала называют доверительными границами. Доверительный интервал можно рассматривать как интервал значений параметра θ, совместимых с опытными данными и не противоречащих им. Метод доверительных интервалов был разработан Ю. Нейманом, который использовал идеи Р.Фишера. Рассмотрим вопрос о нахождении доверительных границ . Пусть для параметра θ имеется несмещённая оценка θ*. Если бы был известен закон распределения величины θ*, задача нахождения доверительного интервала была бы весьма простой. Для этого достаточно было бы найти такое значение ε, для которого выполнено соотношение (2.20). Сложность состоит в том, что закон распределения оценки θ* зависит от закона распределения СВξ , следовательно, от его неизвестных параметров, в частности, от параметра θ .