2. Выборочные аналоги интегральной функции распределения

Эмпирическая функция распределения.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения: m_x-число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшеех; п- общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х <х равна.m_x/n. Если х изменяется, то изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения(функцией распределения выборки) называют функцию определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х <х, т.е.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (х) определяет вероятность события Х<х, а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события Х <х, т. е. эмпирическая функция стремится по вероятности к вероятности F (х) этого события. Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Эмпирическая функция обладает всеми свойствами F(x):

1) ее значения принадлежат отрезку [0, 1];

2) неубывающая;

3) если х_i-наименьшая варианта, то

если x_k- наибольшая варианта, то

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

3. Выборочные аналоги дифференциальной функции распределения

Выборочная дифференциальная функция.

Выборочным аналогом дифференциальной функции f(x) является функция

, где

есть частость попадания наблюдаемых значений СВХ в интервал [x, x + x), следовательно, характеризует плотность частости на этом интервале. - частость попадания наблюдаемых значений СВХ в частичный интервал , длина которого h, тогда выборочная дифференциальная функция

При хх_нач и хх_кон

При построении графика выборочной функции плотности в качестве х принимают середину каждого частичного интервала. Удобно совмещать на одной координатной плоскости гистограмму частостей с графиком выборочной плотности.

Для рассматриваемого примера гистограмма частостей и график выборочной плотности имеют вид:

4. Статистические характеристики вариационных рядов

Выборочное среднее (средняя арифметическая)

где – варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального ряда; – частоты вариант или интервалов; – частости вариант или интервалов.

Средняя отклонений вариантов от средней равна нулю:

Медианой (Md) вариационного ряда называется значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений.Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух серединных вариантов. Для интервального вариационного ряда:

Модой (Mo) вариационного ряда называется варианта, которой соответствует наибольшая частота.Для дискретного вариационного ряда мода находится по определению.Для интервального вариационного ряда: