Вопрос № 5 Теорема о единственности предела последовательности:
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Предположим
и
.
Для определённости положим
.
Возьмём
,
тогда существует N1
такой, что при всех п>N1
выполняется
и
существует N2
такой, что при
всех п>N2
выполняется
Пусть
,
тогда п>N.
Одновременное выполнение
и
п>N2,
что невозможно даже при указанном ε
ε-окрестность, так как а
и в
не пересекаются.
Полученное противоречие доказывает единственность предела.
Вопрос № 6 Теорема об ограниченности сходящейся последовательности:
Последовательность
Хп
называется ограниченной, если существует
точка М
из R
такая, что
при
всех п,
а так же есть А>0
такая, что
/
Последовательность
хп
называется неограниченной, если для
всех А>0
(сколько угодно больших) есть N
такое, что
.
Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена:
Доказательство:
для
ε=1 есть Nε
такой, что при всех N>Nε
,
тогда для п
> Nε:
,
то при всех п
.
Вопрос № 7 Монотонные последовательности:
Монотонные последовательности.
Теорема о сходимости монотонной последовательности.
{xn} называется возрастающей, если для всех п1, п2 таких, что п1<п2: х1<x2, и не убывает, если для всех п1, п2 таких, что п1<п2: х1<=x2
{xn} называется убывающей, если для всех п1, п2 таких, что п1<п2: х1>x2, и не убывает, если для всех п1, п2 таких, что п1<п2: х1>=x2
Теорема: Возрастающая последовательность ограничена сверху и имеет конечный предел. Убывающая последовательность ограничена снизу и имеет конечный предел.
Доказательство:
(Возрастающая последовательность
ограничена сверху и имеет конечный
предел.): хп1<xn2
при любых п1<п2
и хп<=М
при любых п.
По
теореме об ограниченном множестве есть
число
,
то есть хп<=а,
а так же для всех ε>0 найдётся N
такой, что
.
Тогда при всех п>N
,
или
,
тогда при n>N
,
другими словами
.
(Убывающая
последовательность ограничена снизу
и имеет конечный предел): хп1>xn2
при любых п1<п2
и хп>=m
при любых п.
По теореме об ограниченном множестве
есть число
,
то есть хп<=а,
а так же для всех ε>0 найдётся N
такой, что
.
Тогда при всех п>N
–
Вопрос № 8 Бесконечно малые последовательности и их свойства:
Последовательность
бесконечно
малая,
если для всех ε>0
найдётся Nε
такой, что при всех
п> Nε
Свойства бесконечно большой последовательности:
Сумма двух бесконечно малых последовательностей даёт бесконечно малую последовательность.
Пусть
,
тогда рассмотрим сумму этих двух
последовательностей: По условию ε>0
найдётся N1
такой, что всех
п>N1
и
найдётся N2
такой, что всех
п>N2
,
тогда при всех п>N:
Разность двух бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.
Следствие: Алгебраическая сумма бесконечно малой величины – есть бесконечно малая величина.
Бесконечно малая последовательность ограничена, так как являет собой частный случай сходящейся последовательности.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную – есть бесконечно малая последовательность
Пусть
и
при всех п:
.
Возьмём ε>0,
тогда найдётся Nε
такой, что при всех
п> Nε
.
Оценим
Следствие: произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей – есть бесконечно малая последовательность.
Если все элементы бесконечно малой последовательности одному и тому же С, то С=0.
Если
– бесконечно большая, то обратная к
ней – бесконечно малая.
Вопрос № 9 Бесконечно большие последовательности и их свойства:
Бесконечно большие последовательности и их свойства.
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.
Последовательность
бесконечно
большая,
если для всех А>0
найдётся N
такой, что при всех п>
N
.
Свойства бесконечно малой последовательности:
Сумма бесконечно больших последовательности одного знака – бесконечно большая последовательность.
Разность даёт неопределённое выражение.
Произведение двух бесконечно больших последовательностей – бесконечно большая последовательность.
Отношение двух бесконечно больших последовательностей не определена.
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями:
Действительно
,
однозначно для каждого ε>0
найдётся Nε
такой, что при всех
п> Nε
Вопрос № 10 Теорема об арифметических действиях над последовательностями, имеющими конечный предел:
тогда:
.
Доказательство:
–
обозначим
при
п
стремящемся к нулю.
–
обозначим
при
п
стремящемся к нулю.
Докажем, что
–
бесконечно мала:
–
бесконечно малая величина.
Вопрос № 11 Теоремы о переходе к пределу в неравенствах:
Пусть
и
при n>N
.
Доказательство:
Предположим a<b,
то есть b-a>0.
Возьмём
,
для него существует Nε
такой, что при всех
п> Nε>=N:
,
или
–
противоречие показывает, что
Пусть и при n>N
.
Доказательство:
Предположим a<b,
то есть b-a<0.
Возьмём
,
для него существует Nε
такой, что при всех
п> Nε>=N:
,
или
–
противоречие показывает, что
Следствия:
Пусть
и
для всех
Пусть и для всех
Пусть
и для всех
–
сходится, и
