
- •Операции над множествами:
- •Числовая прямая:
- •Ограниченность числового множества:
- •Теорем о существовании точных верхней и нижней граней:
- •Некоторые характеристики Rn:
- •Вопрос № 3 Понятие функции, как отображения:
- •Классификация функций:
- •Вопрос № 4 Числовая последовательность:
- •Критерий Коши сходимости последовательности:
- •Вопрос № 5 Теорема о единственности предела последовательности:
- •Вопрос № 6 Теорема об ограниченности сходящейся последовательности:
- •Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена:
- •Вопрос № 7 Монотонные последовательности:
- •Вопрос № 8 Бесконечно малые последовательности и их свойства:
- •Свойства бесконечно большой последовательности:
- •Вопрос № 12 Предел функции:
- •Свойства непрерывных функций:
- •Вопрос № 18: Понятие сложной функции:
- •Вопрос № 19: Классификация точек разрыва:
- •Вопрос № 32: Экстремумы:
- •Локальные экстремумы:
- •Необходимое условие экстремума:
- •Достаточное условие экстремума:
- •Достаточное условие экстремума:
- •Вопрос № 34: Направление выпуклости графика функции:
- •Достаточное условие выпуклости графика функции:
- •Вопрос № 35: Точки перегиба графика функции:
- •Необходимое условие точки перегиба:
- •Общий случай:
- •Вопрос № 36: Асимптоты графика функции:
- •Вопрос № 37: Понятие п-мерной точки, п-мерного пространства:
- •Вопрос № 38: Частные производные:
- •Дифференцирование функции многих переменных:
- •Понятие частных дифференциалов:
- •Геометрический смысл частных производных:
- •Вопрос № 39: Дифференцируемость функции
- •Необходимые условия дифференцирования:
- •Достаточные условия дифференцирования:
- •Вопрос № 40: Производная по направлению:
- •Вопрос № 43: Понятие о функциях, заданных неявно:
- •Касательная и нормаль к поверхности:
- •Вопрос № 44: Частные производные высших порядков:
- •Необходимое условие существования экстремума:
- •Вопрос № 46: Первообразная:
- •Теорема о среднем:
- •Вопрос № 54: Определённый интеграл с переменным верхним пределом:
Теорема о среднем:
Функция
интегрируема на отрезке.
Доказательство:
Следствие:
Если
функция непрерывна на отрезке, то
существует ξ из отрезка, для которой
,
тогда
–
среднее значение функции на отрезке.
Вопрос № 54: Определённый интеграл с переменным верхним пределом:
Определённый интеграл с переменным верхним пределом.
Свойства.
Доказательство формулы Ньютона-Лейбница.
Пусть
функция интегрируема на отрезке,
фиксируем точку С
из отрезка. Для всех х
функция интегрируема на отрезке
,
тогда на отрезке
определена функция
–
это интеграл с переменным верхним
пределом.
Если функция непрерывна на отрезке, то для неё существует первообразная на этом отрезке, одной из первообразных является функция , следовательно:
Функция непрерывна на отрезке .
Заметим, что в выражении точка С – любая точка из отрезка.
Основная формула интегрального исчисления:
Было
доказано, что две любые первообразные
от функции отличаются на константу,
тогда любую первообразную для функции
можно представить в виде:
,
вычислив
Вопрос № 55: Интегрирование по частям и замени переменной в определённом интеграле:
Замена переменной в определённом интеграле:
Замена переменной в определённом интеграле производится так же, как и в неопределённом, только необходимо пересчитать пределы интегрирования, подставив их в подстановочную формулу.
Интегрирование по частям в определённом интеграле:
Для
на отрезке существуют непрерывные
производные, тогда
Доказательство:
Вопрос № 56: Приложение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур и длин дуг:
Площадь плоской фигуры:
Функция
неотрицательна на отрезке, тогда из
геометрического смысла определённого
интеграла следует, что площадь, вычисляется
по формуле
.
Пусть
функция задана параметрически,
неотрицательна на отрезке, и существуют
и непрерывны первые производные
,
то площадь такой фигуры –
Площадь
криволинейного сектора:
Длинна дуги:
,
производные непрерывны на отрезке,
тогда кривая спрямляема, и её длинна
,
производная функции непрерывна на
отрезке, тогда кривая спрямляема, и её
длинна
Пусть
прямая задана в полярной системе
координат, производная функции непрерывна
на заданном отрезке, тогда кривая
спрямляема, и её длинна
Длинна
дуги пространственной прямой:
–
непрерывны на отрезке, тогда кривая
спрямляема, и её длинна
Вопрос № 57: Вычисление площадей поверхностей тел вращения:
Вычисление площадей поверхностей тел вращения.
Вычисление объёмов тел вращения.
Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям.
Объём тел вращения:
При вращении криволинейной трапеции вокруг оси Х и вокруг оси У получаются различные объёмы.
Пусть
функция неотрицательна на отрезке, и
непрерывна на нём, тогда объёмы
Более общий случай:
Пусть
заданы две функции, причём одна больше,
либо равна другой, и обе неотрицательны
на отрезке, тогда
Пусть
заданы две функции, причём одна больше,
либо равна другой, отрезок лежит, целиком,
правее от начала отсчёта, тогда
В
параметрическом виде:
Объём тела с известной площадью поперечного сечения:
Пусть некоторое ограниченное тело лежит над отрезком оси ОХ. При произвольном х из отрезка рассечём тело перпендикулярно оси.
–
площадь
сечения, если она непрерывна на отрезке,
то объём можно найти по формуле:
Площадь поверхности вращения:
При вращении криволинейной трапеции вокруг оси, она описывает поверхность, площадь которой:
Вопрос № 58: Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования:
Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования.
Определение.
Сходимость.
Понятие о неопределённом интеграле от функции, неограниченной на отрезке интегрирования.
Свойства.
1
Замкнутое ограниченное множество в
называется
«компактом»
2
равномерно непрерывна на
,
если для всех
такая,
что для всех точек М1,2 из