1. Понятие "Множества". 2-3

2. Множество вещественных чисел. 3-4

3. Понятие функции, как отображения. 4-5

4. Числовая последовательность. 5

5. Теорема о единственности предела последовательности. 5-6

6. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. 6

7. Монотонные последовательности. 6

8. Бесконечно малые последовательности и их свойства. 6-7

9. Бесконечно большие последовательности и их свойства. 7

10.Теорема об арифметических действиях над последовательностями,имеющими конечный предел.7-8

11. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах. 8

12. Предел функции. 8-9

13. Теоремы об арифметических действиях над функциями, имеющими конечный предел. 9

14. Замечательный предел. 9-10

15. Второй замечательный предел. 10

17. Непрерывность функции одной переменной в точке и на множестве.

18. Понятие сложной функции. 10-11

19. Классификация точек разрыва. 11

20. Комплексные числа. 11

21. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. 11-12

22. Производная функции одной переменной. 12

23. Правила дифференцирования. 13

24. Производная сложной и обратной функции. 13

25. Параметрическое дифференцирование, производные высших порядков. 14

226. Понятие дифференцируемой функции в точке х. 14

26. Понятие дифференциала. 14-15

27. Дифференциал сложной функции. 15

28. Дифференциалы высших порядков.15-16

29. Правило Лопиталя, Формула Тейлора.16

30. Возрастание, убывание функции в точке.16

31. Экстремумы.16-17

32. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

33. Направление выпуклости графика функции.

34. Точки перегиба графика функции.

35. Асимптоты графика функции.

36. Понятие n-мерной точки, n-мерного пространства.

37. Частные производные.

38. Дифференцируемость функции f(M),MэR^n.

39. Производная по направлению.

40. Дифференциал f(M), M принадлежит R^n.

41. Производная сложной функции многих переменных.

42. Понятие о функциях, заданных неявно.

43. Частные производные высших порядков.

44. Экстремум функции многих переменных.

45. Первообразная.

46. Замена переменной, как один из основных методов интегрирования.

47. Метод интегрирования по частям.

48. Интегрирование элементарных дробей.

49. Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений.

50. Задачи, приводящие к определённому интегралу.

51. Интегральные суммы.

52. Определённый интеграл с переменным верхним пределом.

53. Интегрирование по частям и замени переменной в определённом интеграле.

54. Приложение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур и длин дуг.

55. Вычисление площадей поверхностей тел вращения.

56. Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования.

Содержание:

Вопрос № 1 Понятие «Множества»:

1. Пустое множество.

2. Подмножества.

   1. Круги Эйлера.

3. Операции над множествами.

4. Свойства.

5. Понятие соответствия.

6. Эквивалентность множеств.

7. Множество:

   1. Конечное.

   2. Счётное.

   3. Мощности континуума.

Множество – не имеет точного определения. Множества определяются, как совокупность некоторых объектов, мыслимых, как единое целое.

Объекты определяются по характерному признаку и называются элементами множества.

Сами множества могут быть элементами другого множества.

Обозначения:

• Множества: А, В, …, X, Y, Z.

• Элементы: а, в, …, x, y, z.

• Принадлежность: ε.

• Пустое множество: Ø.

Пустое множество – это такое множество, в котором нет элементов.

Множество А называют подмножеством В если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

– операция включения.

Иллюстрация действий с множествами осуществляется с помощью кругов Эйлера.

Операция включения обладает свойством аддитивности, то есть если и ,то .

Множество А называется равным множеству В, если .

Операции над множествами:

0. Пересечение: если оно состоит из элементов, входящих в оба этих множества. . Свойства:

   1. Коммутативность, или перестановочность.

   2. Пересечение любого множества с пустым даёт пустое множество.

   3. 

   4. Если ,то .

1. Объединение: , если оно состоит из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств, при этом общие элементы учитываются только один раз. Свойства:

   1. Коммутативность.

   2. Объединение с пустым множеством даёт само множество.

   3. Объединение с самим собой даёт исходное множество.

   4. Если , то .

2. Соответствие между множествами: Между А и В существует правило, по которому по элементу из множества А можно найти элемент из множества В. Соответствие называют взаимнооднозначным, если для любого элемента из множества А можно найти единственный элемент из множества В, и наоборот, так что .

Дадим следующие определения:

0. А – называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.

1. А и В – называют эквивалентными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие.

2. А – называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

3. А – называется мощности континуума, если оно эквивалентно интервалу от нуля, до единицы.

Вопрос № 2 Множество вещественных чисел:

1. Числовая прямая.

2. Метрика.

3. Ограниченность множества.

4. Теорем о существовании точных верхней и нижней граней.

Множеством вещественных чисел называется множеств, состоящие из разнообразных бесконечных десятичных дробей.

Множество, состоящие из периодических дробей – множество рациональных чисел.

Множество рациональных чисел состоит из бесконечных десятичных не периодических дробей.

Числовая прямая:

Ставя каждой точке М длину единичного отрезка ОМ со знаком «+», если М и Е лежат по одну сторону, и «-», если по разные, мы получаем взаимнооднозначное соответствие между точками прямой, как геометрическими объектами, и вещественными числами.

х – координата точки М, а саму координатную прямую – координатным пространством.

Введём на координатной прямой метрику, то есть понятие расстояния ρ между М₁ и М₂, где М₁(х₁), М₁(х₂). По формуле

После введения метрики пространство называют эвклидовым координатным пространством, и обозначают R.

0. Любой интервал, содержащий точку М называют её окрестностью.

1. Для всех М(х) называют ε-окрестностью точки М

Ограниченность числового множества:

Пусть Х содержит хотя бы один элемент, тогда:

0. Х называется ограниченным сверху, если существует , такое что для всех х из Х Число М называют верхней границей. Ясно, что этих чисел бесчисленное множество.

1. Х называется ограниченным снизу, если существует , такое, что для всех х из Х Число m называют нижней гранью.

{Х} называется ограниченным, если существуют рациональный числа, такое, что для всех и существует такое, что для всех .

Наименьшая из всех верхних граней множества называется его точной верхней гранью.

Наибольшая из всех нижних множества называется его точной нижней гранью.