3. Дискретное преобразование Фурье. Масштабирование по частоте. Переход от нормированной частоты к естественной

П ри обработке на ЭВМ данные должны быть дискретизированы. Если имеем сигнал, ограниченный во времени, то на его основе можно сформировать периодический сигнал повторяя его через фиксированные моменты времени. Функция дискретизации имеет следующий вид:

Условимся обозначать: интервал дискретизации исходного сигнала Т₂, период Т₁

Коэффициенты ряда:

Т.к. дискретная функция существует только в фиксированные моменты времени, то можно записать:

Обозначим: , тогда

Составляющие по k будут повторяться через n отсчетов  достаточно рассмотреть лишь один период отсчетов  дискретное представление в виде ряда можно сузить, пределы от 0 до N.

Обозначим , , тогда система примет вид

, - дискретное преобразование Фурье. - составляющие спектра смещены на N/2 такие же но со знаком «-». Это используется при нахождении дискретного спектра. n/N = 0 ÷ 1, поэтому спектр строят в диапазоне [-0,5;0,5]

Выражения для прямого ДПФ и обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) имеют вид:

Выражение для ДПФ ставит в соответствие N отсчетам сигнала s(n), n = 0..(N-1) , в общем случае комплексного, N отсчетов спектра S(k), k = 0..(N-1).

Можно обратить внимание, что как и в непрерывном, так и в дискретном случае, в выражении для обратного преобразования имеется нормировочный коэффициент. В случае интеграла Фурье это  , в случае ОДПФ –  . Можно отметить, что в случае непрерывного преобразования нормировочный коэффициент   призван корректно отображать масштабирование сигнала во времени в частотную область и наоборот. Другими словами, если последовательно рассчитать спектр некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом. Нормировочный коэффициент   уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала.

4 Быстрое пр-е Фурье.Переход к естеств. Масштабу частот

Дискретное преобразование Фурье требуют выполнения большого числа операций. Если сигнал имеет N отсчётов, то потребуется N² умножений и N² сложений. Учтём ещё то, что дискреты не всегда чисто вещественные, а могут быть и комплексными. Быстрое преобразование Фурье заключается в том, что исходную последовательность разбивают на части и находят преобразование на каждой из частей, а потом получают результирующую. Во всех математических пакетах дискретные преобразования реализуются как быстрые преобразования. Если взять исходную последовательность и разбить её на 2 части по N/2, то получим (N/2)² сложений и умножений, т.е. всего: 2 (N/2)² = N² / 2 < 2 N^2. Разбиение последовательности на составляющие должно обладать свойством, чтобы получение результирующей последовательности давало экономию в расчётах. Часто используется метод прореживания по времени. При таком методе число арифметических операций уменьшается до N*log₂N раз. Чтобы выполнить этот алгоритм необходимо, чтобы такое деление по частям было возможно, т.е. пока в каждой части будет по 2 слагаемых. Поэтому часто ограничение на количество отсчетов: N=2ⁱ. Будем полагать, что исходная последовательность а имеет число отсчетов 2ⁱ , и ее можно делить на равные части. Разделим ее на 2 части: одна чётная, другая – нечётная

Достаточно найти N/2 значений, а остальные будут отличаться только знаком «-».

Обратное преобразование Фурье

Для обратного преобразования Фурье можно применять алгоритм прямого преобразования Фурье — нужно лишь использовать вместо (или применить операцию комплексного сопряжения в начале к входным данным, а затем к результату, полученному после прямого преобразования Фурье) и окончательный результат поделить на N.

Такой алгоритм получения принято обозначать так:

Пример: пусть исходная последовательность имеет значения а₀, а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆, а_7. Эта последовательность делится на 2 части: четную и нечетную:

а₀, а₂, а₄, а₆ | а₁, а₃, а₅, а₇

0 1 2 3 0 1 2 3

И опять:

а₀, а₄ | а₂, а₆ || а₁, а₅ | а₃, а₇

Сначала находим W_N для последних пар, потом для предыдущих и, наконец, для исходной последовательности:

Т от же алгоритм можно представить по-другому:

Если исходных данных 23, то на выходе 32.

Если N – просто число, то верхняя линия. Если N=2 в степени n, то нижняя. Реально N может быть любым и специально вводят нулевые отсчеты чтобы было 2 в степени n.