Классификация изолированных особых точек однозначной функции.
Точка аСz называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|<r }, а в самой точке а не определена.
Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|<} точки z= и функция
имеет в точке x =0 изолированную особую точку однозначного характера.
В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.
Изолированная особая точка а функции f (z) называется
а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел
б) полюсом, если
в) существенно особой точкой, если
не существует.
Заметим, что типы особых точек z= функции f (z) и x =0 функции j(x) совпадают, ибо
Пусть функция f (z) регулярна в точке а (и, следовательно, в некоторой окрестности этой точки). Число т, т1, называется кратностью (или порядком) нуля функции f (z) в точке а, если выполнены условия
f (a)=f¢ (a)=…=f (m-1)(a)=0,
f (m)(a) 0.
При т=1 точка а называется простым нулем функции f (z), при m>1-кратным.
Порядком (или кратностью) полюса функции g(z) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции
Если а – простой нуль f (z), то точка а называется простым полюсом функции g(z).
Замечание.
Вообще, если
, где P(z) и Q(z) – полиномы, не имеющие общих корней, то корни полинома Q(z) (и только они) являются полюсами функции f (z).
Порядок полюса f (z) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q(z).
Точка z= называется нулем кратности m1 для функции f (z), регулярной в этой точке, если функция
имеет нуль кратности т в точке x =0.
Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f (z), то f (z) регулярна в некотором кольце {z: 0<|z-a|<r} и ее можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце,
Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.
1. Для того чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки а не содержало главной части.
2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т³ 1, если главная часть имеет вид
3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.
Разложение
функции f (z) в окрестности бесконечно
удаленной точки в ряд Лорана имеет вид
Здесь роль главной части играют члены с положительными степенями z, а члены с отрицательными степенями образуют правильную часть.
56. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке, в устранимой особой точке.
Определение
2.7. Пусть 
изолированная
особая точка функции f(z). Пусть
Г – простая замкнутая спрямляемая
кривая, ориентированная против часовой
стрелки, содержащая внутри
точку 
.Причем f(z) аналитична на
Г и во всех точках внутри Г, кроме 
Тогда
интеграл 
называется
вычетом функции f(z) относительно
точки 
и
обозначается: 
или 
.
(Здесь Res – начальные
буквы французского слова residu –
остаток).
Замечание. Из
теоремы 1 следует, что интеграл 
т.
е. вычет равен коэффициенту при 
в
разложении функции f(z) в
ряд Лорана в окрестности точки
Таким
образом, 
Теорема
6. Пусть
изолированная
особая точка функции f(z).
Если
устранимая
особая точка, то 
Если
простой
полюс функцииf(z),
то 
Если
полюс
кратности k функции f(z),
то 
Пример
2.10. Найти вычеты функции 
в
ее изолированных особых точках.
Решение.
Данная функция
имеет две изолированные особые точки: 
–
устранимую особую точку и 
–
полюс кратности 2. Тогда
=
Теорема
7. Если точка 
–
простой полюс функции 
где 
аналитические
функции в точке
и 
простой
нуль для функции 
и 
Тогда 
Пример 2.11.
Вычислить вычет функции 
в
простом полюсе 
Решение.
Так как
функции 
–
аналитические в точке
и 
и 
то
можно применить формулу теоремы 7,
получим 
Определение
2.8. Вычетом функции f(z)
в бесконечно удаленной точке
называется интеграл 
где
интегрирование по линии Г проводится
по часовой стрелке.
Замечание. Из
определения следует, что 
–
это взятый со знаком минус коэффициент
при 
в лорановском разложении
в окрестности бесконечно удаленной
точки функции, аналитической в этой
окрестности.
Пример
2.12. Найти вычет в бесконечно
удаленной точке для функции 
Решение.
Найдем
коэффициент 
в
разложении этой функции в ряд Лорана в
окрестности точки 
Тогда 
Теорема
8. Пусть f(z) – аналитическая
функция в расширенной плоскости, за
исключением конечного числа изолированных
особых точек 
Тогда 
Замечание. Из
теоремы 8 следует, что вычет в бесконечно
удаленной точке можно вычислить по
формуле 
Пример
2.13. Вычислить вычет в бесконечно
удаленной точке функции 
Решение.
Эта функция
имеет две изолированные особые
точки: 
простой
полюс и 
–
полюс кратности 2. Тогда
57. Вычисление вычетов в полюсе, в бесконечно удалённой точке.
Вычет относительно бесконечно удаленной точки
(f(z) -
аналитическая в области 
обход
контура - по часовой стрелке).
c-1 -
коэффициент при z-1 в
разложении f(z) в
ряд Лорана в окрестности точки 
.
Вычисление вычета в бесконечно удаленной точке
1. 
-
правильная точка:
- нуль:
В
частности, если 
при 
то
2. - полюс порядка не выше m:
3.
Если f(z) представима
в виде 
где 
-
аналитическая в точке 
то
Если f(z) имеет конечное число особых точек zk, k = 1, 2, ..., n, в конечной части плоскости, то
