53 Интеграл Коши. Интегральная формула Коши.

Теорема Коши позволяет также установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее определения и граничными значениями. При этом имеет место

52

Формула (52) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения:

(53)

Формула Коши может быть расширена для производных аналитической функции , и так как входит в интеграл (52) как параметр, то на основе свойств интегралов, зависящих от параметра, после -кратного дифференцирования, можно получить

(54)

Помимо самостоятельного значения интегральной формулы Коши, (52), (54) фактически дают очень удобный способ вычисления контурных интегралов, которые, как видно, будут выражаться через значение "остатка" подынтегральной функции в точке, где эта функция имеет особенность .

54. Степенные ряды в комплексной области. Ряд Тейлора. Ряд Лорана.

Ряд вида

, (1)

где - постоянные числа, а Z - переменная, называется степенным рядом. При этом и Z могут быть комплексными, мы так и будем считать в дальнейшем, иногда только переходя в область действительного переменного. Буква Z будет обозначать, вообще говоря, комплексное переменное число (точку комплексной плоскости), а буква X - действительное переменное число (точку действительной оси X ).

Тейлора ряд

Степенной ряд вида

(1)

где f (x) — функция, имеющая при х = а производные всех порядков. Во многих практически важных случаях этот ряд сходится к f (x) на некотором интервале с центром в точке а:

(2)

(эта формула опубликована в 1715 Б. Тейлором). Разность Rn (x) = f (x) — Sn (x), где Sn (x) — сумма первых n + 1 членов ряда (1), называется остаточным членом Т. р. Формула (2) справедлива, если

,

применимом и к функциям многих переменных.

При а = 0 разложение функции в Т. р. (исторически неправильно называемый в этом случае рядом Маклорена; см. Маклорена ряд) принимает вид:

,

в частности:

(3)

(4)

(5)

(6)

||(7)

Ряд (3), являющийся обобщением на случай дробных и отрицательных показателей формулы бинома Ньютона, сходится: при -1< х < 1, если m < -1; при -1< x ≤ 1, если -1< m < 0; при -1 ≤ x ≤ 1, если m > 0. Ряды (4), (5) и (6) сходятся при любых значениях х, ряд (7) сходится при -1< x ≤ 1.

Функция f (z) комплексного переменного z, регулярная в точке а, раскладывается в Т. р. по степеням z — а внутри круга с центром в точке я и с радиусом, равным расстоянию от а до ближайшей особой точки функции f (z). Вне этого круга Т. р. расходится, поведение же его на границе круга сходимости может быть весьма сложным. Радиус круга сходимости выражается через коэффициенты Т. р. (см. Радиус сходимости).

Т. р. является мощным аппаратом для исследования функций и для приближённых вычислений. См. также Тейлора формула.

Ряд Лорана

Необходимо перенести в эту статью содержимое статьи Теорема Лорана и поставить перенаправление. Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

1. — правильная часть ряда Лорана и

— главная часть ряда Лорана.

2.

При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.

Свойства

Eсли внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо

Во всех точках своего кольца сходимости D ряд Лорана сходится абсолютно;

Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;

На любом компактном множестве K принадлежит D ряд сходится равномерно;

Сумма ряда Лорана в D есть аналитическая функция f(z);

Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в D почленно;

Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в D, то совпадают и все коэффициенты этих рядов.

Коэффициенты An ряда Лорана определяются через его сумму F(Z) формулами

где , , — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.