47. Комплексная форма ряда Фурье

Как известно из курса алгебры, экспонента от чисто мнимого аргумента определяется равенством .Отсюда немедленно вытекают формулы Эйлера 

справедливые для всех вещественных чисел .

Предполагая, что функция f разлагается в ряд Фурье, заменим в нем синусы и косинусы по формулам Эйлера:

где использованы обозначения

Вновь используя формулы Эйлера, преобразуем выражения для коэффициентов c_n:

Итак, мы видим, что для всех значений n коэффициенты c_n ищутся по одной формуле

При этом имеет место разложение

называемое комплексной формой ряда Фурье

Интеграл Фурье.

48. Функция комплексного переменного. Предел, непрерывность

Е сли каждому значению zÎG поставлено в соответствие одно(в случае однозначных функций) или несколько (в случае многозначных функций) значений wÎW, то говорят, что на множестве G значений Z задана функция w=f(az).

Односвязной областью называется такая область, для которой верно утверждение «Любая замкнутая область ограничивает область принадлежащую данной».

W=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y), где u-вещественная ,а v-мнимая части функции.

Функция w=f(z) устанавливающая соответствие между точками z и w , осуществляет отображение точек из области Z в область W.

Точки области G называется образами точек g при отображении w=f(z), а точки g называются прообразами соответствующих точек G.

Функция w=f(z) называется однозначной, если в каждой точке из области Z соответствует одна и только одна точка в плоскости W.

Если функция w=f(z) однозначна и такая, что обратная к ней функция z=F(w)(определенная на G) также однозначна, то тогда w=f(z) –однолистна на множестве g.

П усть w₀ ,z₀ конечные числа. Число w₀ называется пределом функции w=f(z)

" e>0 сущ. d(e)>0 т.ч.

|z-z₀|<d(*)=>|f(z)-w₀|<e(**)

Е сли w₀ или z₀ или оба вместе взять за бесконечность тогда неравенства меняются (*, **) или оба заменяются другими.Пример." e>0 сущ A т.ч.|z|>A=>|f(z)-w₀|

W=f(z)- непрерывна в точке z₀ если выполняются следующие условия:

1) f(z) определена в этой точке (.)z₀

2)$

3) f(z₀)=k

49.Диффиренцируемость. Коши-Риман.

Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.         В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.         Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.          Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Условие Коши-Римана.

Теорема: если  производная f^/(z), то выполняется условие =>

Доказательство: Пусть  f^/(z)<=>

По любому направлению z->0 и не зависит от этого стремления. z=x+iy=> в частности, z=x->0 и z=iy->0, т.е. по направлению ||Ox или || Oy

50. Понятие о конформном отображении. Отображение, осуществляемое линейной функцией.