28. Метод функций Ляпунова при исследовании на устойчивость точки покоя нелинейной системы ду.

Устойчивость по Ляпунову: основные понятия и определения

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

(1)

Решение  , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям    , называется устойчивым no Ляпунову при  , если для любого   существует   такое, что для всякого решения    , системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям

(2)

имеют место неравенства

(3)

для всех  .

Если при сколь угодно малом   хотя бы для одного решения    , неравенства (3) не выполняются, то решение  называется неустойчивым.

Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие

(4)

то решение  , называется асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость решения    , системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения    , некоторой системы, аналогичной системе (1),

(1')

где  .

Говорят, что точка  , есть точка покоя системы (1').

Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя    , устойчива по Ляпунову, если, каково бы ни было  , можно найти такое  , что для любого решения    , начальные данные которого    , удовлетворят условию

(2')

выполняются неравенства

(3')

для всех  .

Для случая   геометрически это означает следующее. Каким бы малым ни был радиус   цилиндра с осью  , в плоскости   найдется δ-окрестность точки   такая, что все интегральные кривые   , выходящие из этой окрестности, для всех   будут оставаться внутри этого цилиндра (рис. 30).

Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие  , то устойчивость асимптотическая.

Точка покоя  , неустойчива, если при сколь угодно малом   хотя бы для одного решения    , условие (3') не выполняется.

29.

Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений

Здесь

Полагаем, что выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Положим также, что при t ≥ t0 существует некоторое решение системы x = φ(t).

Точка x ≡ a называется точкой покоя (положением равновесия) системы x' = F(t,x), если F(t,a) = 0 при всех t ≥ t0. Точка покоя системы очевидно является решением системы.

Поскольку F(t,x) непрерывно дифференцируема и F(t,a) = 0, то при всех t ≥ t0, можно записать:

Обозначив

получим

Системой первого (линейного) приближения для системы x' = F(t,x), называется линейная система

Очевидно, что тривиальное решение z ≡ 0 — точка покоя этой системы. Оказывается, что если точка покоя z ≡ 0 системы первого приближения асимптотически устойчива при t → ∞, то точка покоя x ≡ a системы x' = F(t, x) также асимптотически устойчива при t → ∞. Точнее, справедливо следующее утверждение.

Теорема об устойчивости точки покоя по линейному приближению.

Пусть x ≡ a — точка покоя системы x' = F(t, x). Пусть F(t, x) = A(t)·z + R(t, z), z = x − a. Вектор-функция R(t, z) непрерывно дифференцируема при t ≥ t0 , | z | < ρ и R(t, z) = ο(| z |) при | z | → 0, равномерно по t при t ≥ t0.

Если матрица A(t) = A постоянная матрица, действительные части всех собственных значений которой отрицательны, то точка покоя x ≡ a системы x' = F(t, x) асимптотически устойчива. При этом если | x(0) - a | достаточно мало, то при t ≥ t0 справедлива оценка | x(t) - a | ≤ C · exp(−α(t - t0)), α > 0, C> 0.

30. Простейшие типы точек покоя системы линейных ДУ. Характер точки покоя ДУ, устойчивость точки покоя системы ДУ в зависимости от вида корней характеристического уравнения системы ДУ. Случай действительных корней.

I собственные значения - действительны и различны ( ). решение можно записать в виде .

1) - тогда точка покоя будет устойчивым узлом, так как все точки траектории находящиеся в начальный момент в любой - окрестности начала координат, при достаточно большом t, стремится к точкам, принадлежащим сколь угодно малой - окрестности начала координат.Асимптотически устойчева.

2) - получим неустойчивый узел.неустойчива асимптотически.

3.) - тогда точка покоя называется седлом.неустоичива

II собственные значения комплексные Общее решение у=С₁у¹+С₂у²

1.) - тогда точка покоя называется устойчивым фокусом.,асимптотически устойчева

2.) - - неустойчивый фокус.

- точка будет устойчивой и называться центром.устоичева

III действительные кратности два -

Общ. решение у₁(х)=(С₁+С₂х)e^λx, C₁,C₂-произвольные постоянные

1.) , тогда при , то есть точка покоя будет асимптотически устойчивой, это будет устойчивый узел.

2.) , тогда точка покоя – неустойчивый узел.неустоичева

31.Простейшие типы точек покоя системы линейных ДУ. Случай комплексных и действительных, кратности два, корней характеристического уравнения системы ДУ.

I собственные значения - действительны и различны ( ). решение можно записать в виде .

1) - тогда точка покоя будет устойчивым узлом, так как все точки траектории находящиеся в начальный момент в любой - окрестности начала координат, при достаточно большом t, стремится к точкам, принадлежащим сколь угодно малой - окрестности начала координат.Асимптотически устойчева.

2) - получим неустойчивый узел.неустойчива асимптотически.

3.) - тогда точка покоя называется седлом.неустоичива

II собственные значения комплексные Общее решение у=С₁у¹+С₂у²

1.) - тогда точка покоя называется устойчивым фокусом.,асимптотически устойчева

2.) - - неустойчивый фокус.

- точка будет устойчивой и называться центром.устоичева

III действительные кратности два -

Общ. решение у₁(х)=(С₁+С₂х)e^λx, C₁,C₂-произвольные постоянные

1.) , тогда при , то есть точка покоя будет асимптотически устойчивой, это будет устойчивый узел.

2.) , тогда точка покоя – неустойчивый узел.неустоичева

32.Числовые ряды.

Пусть переменная а принимает последовательно значения а₁,а₂,а₃,…,а_n. Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.

Числовым рядом называется выражение а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= . Числа а₁,а₂,а₃,…,а_n – члены ряда.

Например.

а₁ – первый член ряда.

а_n – n-ый или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).

Числовой ряд имеет бесконечное число членов.

Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).

n-ый член находится по формуле а_n=а₁+d(n-1); d=а_n-а_n-1.

Знаменатель – геометрическая прогрессия. b_n=b₁q^n-1; .

Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.

Sn=а1+а2+…+а_n.

Sn – n-ая частичная сумма ряда.

Рассмотрим предел:

S - сумма ряда.

Ряда сходящийся, если этот предел конечен (конечный предел S существует).

Ряд расходящийся, если этот предел бесконечен.

В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.

Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.

, C=const.

Геометрическая прогрессия является сходящимся рядом, если , и расходящимся, если .

Также встречается гармонический ряд (ряд ). Этот ряд расходящийся.

Свойства числовых рядов.

1. Если сходится а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= , то сходится и ряд а_m+1+а_m+2+а_m+3+…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

2. Если ряд а₁+а₂+а₃+… сходится и его сумма равна S, то ряд Са₁+Са₂+…, где С= так же сходится и его сумма равна СS.

3. Если ряды а₁+а₂+… и b₁+b₂+… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а₁+b₁)+(а₂+b₂)+(а₃+b₃)+… и (а₁-b₁)+(а₂-b₂)+(а₃-b₃)+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.

4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).

- необходимый признак (условие) сходимости ряда.

б). Если то ряд расходящийся – достаточное условие расходимости ряда.

-ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.

33.Признаки сравнения рядов

Если то ряд расходящийся – достаточное условие расходимости ряда

1. Первый признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= (1) и b₁+b₂+b₃+…+b_n+…= (2).

Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. а_n b_n и ряд (2) сходится, то и ряд (1) также сходится.

Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. а_n b_n и ряд (2) расходится, то и ряд (1) также расходится.

Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.

2. Второй признак сравнения.

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.

34. Признак Даламбера.

 Рассмотрим положительный числовой ряд  . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему:  , то: а) При   ряд сходится. В частности, ряд сходится при  . б) При   ряд расходится. В частности, ряд расходится при  . в) При   признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

35. Признак Коши радикальный сходимости рядов с положительными членами.

рассмотрим ряд   с положительными членами. Согласно признаку Коши:

 Если  , то ряд   сходится;

 Если  , то ряд   расходится;

 Если  , то вопрос о сходимости ряда 

36. Признак Коши интегральный.

Вспомним несобственные интегралы.

Если существует предел . Это есть несобственный интеграл и обозначается .

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.

Пусть ряд а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= - знакоположительный ряд.

Обозначим a_n=f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Если ряд конечен, то он сходится.

Очень часто встречаются ряды - ряд Дерихле. Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

37.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Знакочередующимся числовым рядом называется ряд

Т. (признак Лейбница): Если для ряда  вы-

полняются условия:  то этот ряд сходится, причем его сумма и

Рассмотрим частичную сумму члены которой сгруппируем по два:

В силу условия 1) разности в скобках положительны, поэтому последовательность возрастающая и

Перегруппируем члены

отсюда Возрастающая и ограниченная последовательность имеет предел

Для последовательности нечетных сумм в силу условия 2) имеем

Таким образом,  и ряд сходится

38.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.

Знакопеременный ряд – это ряд, среди членов которого имеются как + так и – члены.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Это ряд, у которого за каждым + членом следует -, и наоборот, т.е. знаки чередуются.

Пусть задан знакопеременный ряд а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= (1) (члены как + так и -).

Возьмем ряд (3), составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Ряд (3) является знакоположительным рядом.

Если ряд (3) сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся (ответ получен сразу).

Если ряд (3) расходится, а:

- ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся;

- ряд (1) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

При исследовании знакоположительных рядов можем получить 2 ответа: ряд сходится или ряд расходится.

При исследовании знакопеременных рядов могут получиться 3 ответа: ряд сходится абсолютно, ряд сходится условно, ряд расходится.

Схема.

Если (3) – сходится (1) - сходится абсолютно.

Если (3) – расходится

При исследовании на сходимость знакопеременного ряда (1) начинать надо с разбора знакоположительного ряда (3). Т.к. ряд (3)- знакоположительный ряд, то к нему можно применить все признаки сходимости для знакоположительных рядов.

Из расходимости ряда (3) не следует расходимость ряда (1), но если (3) расходится по признакам Даламбера или Коши радикальный, то расходится не только ряд (3), но и ряд (1).

39.

Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:

(1)

Определение. Если при   ряд (1) сходится, то   называется точкой сходимости ряда (1).

Определение. Множество всех значений  , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от  . Будем ее обозначать  .

Теорема. Если для функционального ряда  (1) можно указать такой сходящийся числовой ряд  , что для всех n и для всех вып-ся усл-е  (2), то ряд (1) сх-ся абсолютно и равномерно на мн-ве Е.

Д-во: По усл-ю (2) для любого n , любого p  и для каждого  вы-ся нер-во:  (3). Из сх-ти ряда  следует что для него вып. усл-е Коши:  n p < (4).

Из (3) и (4) следует, что для ряда (1) вып. Усл-е Коши на мн-ве Е, в силу этого по критерию Коши — ряд сх-ся равномерно на мн-ве Е. Абсолютная сх-ть ряда для каждого  следует из правой части (3).

Следствие: Если сх-ся ряд  , где  =sup ,  , то ряд (2) сх-ся абсолютно и ранвомерно на мн-ве Е.

 Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема 1. (непрерывность суммы непрерывных функций)

 Пусть 

{без доказательства} Последний пример показывает, что в случае обычной (поточечной) сходимости это свойство может не выполняться.

Теорема 2. Пусть   В этом случае

(Интеграл от суммы равен сумме интегралов) {б/д}

Теорема 3. Пусть функциональный ряд  :

                            

 

 (Производная суммы равна сумме производных) {без доказательства}

40.Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Действия над степенными рядами

Ряд, членами которого являются функции от x, называется

функциональным:

Придавая х определенное значение x₀, получаем числовой ряд

u₁(x₀)+u₂(x₀)+…+u_n(x₀)+… который может быть как сходящимся, так и расходящимся.Если полученный числовой ряд сходится, то точка хо называется точкой сходимости ряда, если же ряд расходится — точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S = S(x). Определяется она в области сходимости

равенством S(x) = lim Sn(x), где Sn(x) = u₁(х) +u₂(х) + …+(х) — частичная сумма ряда.

Теорема (Абель). Если степенной ряд a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=

сходится при х = хо неравно О, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству │х│ < │x₀│

Следствие Если ряд расходится при х = х₁ то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству │х│ > │x₁│

Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если x₀ неравно 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (-|х₀|;|х₀|) весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ= расходится.

Интервал (-|х₀|;|х₀|) и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив │х₀│=R интервал сходимости можно записать в виде (—R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т.е. R > 0 — это такое число, что при всех х, для которых │х│ < R,

ряд a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ= абсолютно сходится, а при │х│ > R ряд расходится. Число R радиус сходимости, интервал (-R;R) интервал сходимости степенного ряда .Если R=+∞ , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось(-∞;+∞) . Если R=0 , то интервал сходимости вырождается в точку х=0 .радиус абсолютной сходимости вычесляется по формуле:

формула Коши:

Свойства степенных рядов:

1. Сумма S(x) степенного ряда a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ= является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R; R).

2. Степенные ряды nxn и имеющие радиусы сходимости R1и R2 соответственно ,их можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда S(x) = а₀ + а1х + а₂х² + а₃х³ + … + аnхⁿ +... при -R < х < R выполняется равенство

S'(x) = а1+2а_2х+ За₃х²+ … + n*а_nx^n-1 + ...

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда S(x) = а₀ + а1х + а₂х² + а₃х³ + … + аnхⁿ +...

при — R < а <х < R выполняется равенство

Действия со степенными рядами.1) Интегрирование степенных рядов.Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: _nxⁿ, то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда: ⁿ⁺¹+C 2)Дифференцирование степенных рядов.Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле: _nx^n-1

3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами: _nxⁿ _nx^{n n}Произведение двух степенных рядов выражается формулой: _nxⁿ _nxⁿ _nxⁿКоэффициенты с_i находятся по формуле:c_n=a₀b_n+a₁b_n-1+…+a_n-1b₁+a_nb₀

Деление двух степенных рядов выражается формулой: _nxⁿ

41.Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа

Eсли функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можноразложить в степенной ряд по формуле Тейлора: ⁿ+R_n(1), где Rn − остаточный член в форме Лагранжа.кратко эту формулу можно записать ,Рn(х)-многочлен Тейлора. Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е.бесконечно дифференцируема) в окрестности точки Хо и остаточный член Rn(x) стремится к нулю при nстремящейся к бесконечности то из формулы Тейлора

получается разложение функции f(x) по степеням (х — x0), называемое рядом Тейлора: : ⁿ.Если в ряде Тейлора положить хо = 0, то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:

: ⁿ

Условия разложения функции в ряд Тейлора:Если модули всех производных ф-ций f(x)ограничены в окрестности точки х0 одним и темже числом М>0,то для любого х из этой окрестности ряд тейлора ф-ции f(x) сходится к ф-ии f(x),т.е. имеет место разложения

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа:

R_n(x)= ,

42Применение рядов в приближённых вычислениях (вычисление функций, интегралов, решение ДУ)

Приближенное вычисление значений функции:

Пусть требуется вычислить значение функции f(x) при х = х1 с

заданной точностью .

Если функцию f(x) в интервале (-R; R) можно разложить в степенной

Ряд f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+… и х принадлежит (-R;R), то точное значение f(x₁) равно сумме этого ряда при

х = х₁, т. е. f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…

а приближенное — частичной сумме S_n(x₁), т.е. f(x₁)= S_n(x1)=a0+a₁x₁+a₂x²+…+a_nxⁿ+…

Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная

погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е. │f(x1)- S_n(x₁) │=│r_n(x₁)│

Приближенное вычисление определенных интегралов:

Бесконечные ряды применяются также для приближенного

вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда

первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить . Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и

интервал сходимости (—R;R) включит в себя отрезок [а;Ь], то для

вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством

почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же,

как и при вычислении значений функций.

Приближенное вычисление ДУ:

Если решение дифференциального уравнения не выражается через

элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком

сложен, то для приближенного решения уравнения можно

воспользоваться рядом Тейлора.

Познакомимся с двумя способами решения дифференциальных

уравнений с помощью степенных рядов.

Пусть требуется решить уравнение

у" = f(x;y;y'),удовлетворяющее начальным условиям У│_х=х0 = у₀, у'│_х=х0 = у'_0.

Способ последовательного дифференцирования

Решение у = у(х) уравнения у" = f(x;y;y'), ищем в виде ряда Тейлора:

ⁿ+….,(1)

первые два коэффициента находим из начальных условий A9.3).

Подставив в уравнение у" = f(x;y;y'), значения х = хо, у = уо, у' = у'_0.находим

третий коэффициент: у"(х0) = f(xo;yo;y'o). Значения у”' (х0), у⁽⁴⁾ (хо),…

находим путем последовательного дифференцирования уравнения у" = f(x;y;y'

по х: и вычисления производных при х = х0. Найденные значения

производных подставляем в равенство (1). Ряд (1)

представляет искомое частное решение уравнения у" = f(x;y;y')для тех значений х,

при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет

приближенным решением ДУ у" = f(x;y;y') этот способ для решения ДУ любого порядка.

Способ неопределенных коэффициентов

удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными

коэффициентами.

Пусть требуется решить уравнение

y"+P₁(x)y'+p₂(x)y = f(x) (1) с нач. условиями у(хо) =уо, у'(хо) = y'₀.

Предполагая, что коэффициенты p₁(x), P₂(x) и свободный член f(x)

разлагаются в ряды по степеням х—x₀, сходящиеся в некотором интервале

(хо – R; хо -+Д), искомое решение у = у(х) ищем в виде степенного ряда

у = с₀ + с₁(х – х₀) + с₂(х – х₀)² + … + с_n(х – х₀)ⁿ + ... (2)

с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты с₀ и с₁ определяются при помощи начальных условий

С₀ = у₀, с₁ =у'₀.

Для нахождения остальных коэффициентов дифференцируем ряд

(2) два раза и подставляем выражения для

функции у и ее производных в уравнение (1), заменив в нем р₁(х), Р₂(х),

f(x) их разложениями. получим тождество, из которого находим недостающие

коэффициенты. Построенный ряд (2) сходится в том же интервале (х₀ —-R; х₀ + R)

и служит решением уравнения (1).

43.Ортогональные системы функций. Гильбертово пространство. Периодические процессы и периодические функции. Основная тригонометрическая система функций.

Ортогональные системы функций

Функция f(x) наз-ся кусочно непрерывной если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Сколярное произведение ᴪ(х) на называется число и определяется по формуле ( x)ᴪ(x)dx.Скалярное произведение a удовлетворяет всем свойствам эвклидова пространства.

Функция ᴪ(х) называется ортогональным на отрезке если их скалярное произведение равно нулю.

Гильбертово пространство

векторное пространство Н над полем комплексных (или действительных) чисел вместе с комплексной (действительной) функцией ( х, у), определенной на Н×Н и обладающей следующими свойствами:

1. (х, х) = 0 в том и только том случае, если х = 0,

2. (х, х) ≥ 0 для любого x принадлежит Н,

3. (х + у, z) = (x, z) + (у, z), х,у,z принадлежат Н

4. (х,у)= x,у принадлежит Н,

5. (lx, у) = l(x, у) для любого комплексного числа l, x,у принадлежит Н

Периодические процессы и периодические функции.

свойства периодических функций :

1. Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодические функции периода Т.

2. Если функция f(x) имеет период Т, то функция y=f(ax) имеет период T/│а│

3. Определенный интеграл от периодической функции f(x) с перио-дом Т по любому отрезку длиной Т имеет одно и то же значение, т.е. при любом х справедливо равенство

Основная тригонометрическая система функций

Основной тригонометрической системой функций называется система функций 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…cosnx,sinnx.Этот ряд обладает след.свойствами:

1)свойство ортогональности –интеграл по отрезку произведение любых двух точек разлаживаются функцией равной нулю.

2)интервал по отрезку от квадрата любой функии отличной от нуля.

Замечание. Основная тригонометрическая система функций является ортогональной на любом отрезке равном T=2L.

44.Тригонометрический ряд Фурье.

Пусть функция  абсолютно интегрируема на отрезке , то есть существует  . Тогда ей можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье: . Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера-Фурье: . Если функция  кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если   - сумма ряда Фурье, то для любого       . То есть, если   непрерывна в точке , то  . Если в точке  у   разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке .

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

f(t) – четная на [-a;a], a>0

45. Ряд Фурье для функций, заданных на отрезке [-l;l], с периодом Т = 2l. Ряды Фурье для l чётных и нечётных функций.

46. Представление непериодической функции рядом Фурье. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций.