20. Системы дифференциальных уравнений

(1)

Система такого вида называется нормальной системой дифференциальных уравнений (СНДУ). Для нормальной системы дифференциальных уравнений можно сформулировать теорему о существовании и единственности такую же, как и для дифференциального уравнения.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на открытом множестве , а соответствующие частные производные тоже непрерывны на , то тогда у системы (1) будет существовать решение (2)

а при наличии начальных условий (3)

это решение будет единственным.

Эту систему можно представить в виде:

(4)

Метод Коши

Пусть дана неоднородная система ЛДУ: (1)

Нормальная фундаментальная система решений, соответствующая системе (1) известна:

(2)

И известна нормальная фундаментальная система решений системы (3):

(3)

Система (3) называется сопряженной к системе (2).

Пусть - нормальная фундаментальная система решений (2); - нормальная фундаментальная система решений (3).

Начальные условия - . Скалярное произведение . Покажем, что во всех точках отрезка , скалярное произведение равно , то есть

(4)

Покажем, что , .

Построим решение нашего Дифференциального Уравнения методом Коши. Будем его искать в виде: , (5)

где - неизвестные скалярные функции. Подставим (5) в (1):

, . (6)

Так как функции - решение однородной системы ДУ (1).

Умножим (6) скалярно на : , ,

. (7)

Метод Коши применяется, когда мы можем построить две взаимно ортогональных системы нормальных фундаментальных решений.

23

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = 0.

Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные десйствительные числа.

Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx).

Подставим функцию y(x) = exp(λx) в уравнение:

y(x) = exp(λx),

y'(x) = λexp(λx),

y''(x) = λ2exp(λx),... ,

yn(x) = λnexp(λx),

λnexp(λx) + an-1λn-1exp(λx) + ... + a1λexp(λx) + a0exp(λx) = 0,

exp(λx)(λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0) = 0.

Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда

λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0.

Уравнение λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0 называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Многочлен n-й степени Pn(x) = λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 называется характеристическим многочленом уравнения.

Справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера).

Для того чтобы функция y(x) = exp(λ0x) была решением уравнения y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = 0, необходимо и достаточно, чтобы число λ0 было корнем характеристического уравнения λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0.

Из теоремы Эйлера следует следующее утверждение.

Если числа λ1≠ λ2≠ ... ≠ λn — различные действительные корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то функции exp(λ1x), exp(λ2x), ..., exp(λnx) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:

y(x) = C1exp(λ1x) + C2exp(λ2x)+ ...+ Cnexp(λnx).

24. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = 0.

Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные десйствительные числа.

Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx).

Подставим функцию y(x) = exp(λx) в уравнение:

y(x) = exp(λx),

y'(x) = λexp(λx),

y''(x) = λ2exp(λx),... ,

yn(x) = λnexp(λx),

λnexp(λx) + an-1λn-1exp(λx) + ... + a1λexp(λx) + a0exp(λx) = 0,

exp(λx)(λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0) = 0.

Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда

λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0.

Все корни - различные, но среди них есть комплексные числа. Формально - это снова фундаментальная система решений уравнения, Однако мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами и нам было бы желательно построить фундаментальную систему решений, состоящую из действительных функций. Для этого мы сначала установим следующую важную лемму.

Лемма. Пусть - линейное однородное дифференциальное уравнение (1) такое, что все постоянные - действительные числа. Пусть комплексная функция удовлетворяет этому уравнению. Тогда ему удовлетворяют и функции .

Доказательство. Равенство означает: , откуда , или . Комплексная величина равна 0 тогда и только тогда, когда ее действительная часть и мнимая часть равны 0, откуда , т.е. - решения уравнения (1), что и требовалость доказать.

Пусть теперь - любой комплексный корень уравнения (4). Поскольку (4) имеет действительные коэффициенты, число также является его корнем. Значит, - тоже решение уравнения (1).

Далее, . По лемме, также являются решениями уравнения (1). Легко видеть, , т.е. являются линейными комбинациями . Разумеется, также можно линейно выразить через . Поэтому линейная независимость решений с остальными решениями уравнения (1) равносильна линейной независимости с остальными решениями.

Подведем итоги. В случае, когда все - различные, причем - действительные, а - пара комплексно сопряженных чисел ( ), причем , то фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид: .

25. Рассмотрим неоднородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

Здесь

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой неоднородной линейной системы ОДУ.

Если матрица A(x) и вектор-функция b(x) неперерывны на [a, b], и пусть Φ(x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A(x)Y , то общее решение неоднородной системы Y' = A(x)Y + b(x) имеет вид:

где C — произвольный постоянный вектор-столбец, x0 — произвольная фиксированная точка из отрезка [a, b].

Из приведенной формулы легко получить формулу решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ — формулу Коши.

Решением задачи Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x0) = Y0 является вектор-функция

26. Любая система дифференциальных уравнений описывает с определенной степенью точности реальный физический процесс.

Приборы, фиксирующие то или иное физическое явление, не совершенны. Может оказаться, что малая погрешность измерения начальных данных вызывает ”ощутимые” изменения решений уравнений. В этой ситуации нельзя гарантировать, что выбранная математическая модель реально отражает описываемое ею физическое явление.

И, наоборот, если малые возмущения начальных условий мало изменяют решения на всем промежутке их существования, то соответствующую математическую модель следует признать удачной.

Так возникает важный для приложений вопрос: при каких условиях, математическая модель, описываемая системой дифференциальных уравнений, будет устойчивой.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Полагаем, что выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть некоторое фиксированное решение x = φ(t) этой системы существует при всех t ≥ t0.

Решение x = φ(t) системы называется устойчивым по Ляпунову при t ≥ t0 , если для любого ε > 0 существует число δ > 0 (зависящее, вообще говоря, от ε ) такое, что:

— решение x = x(t) задачи Коши с начальным условием x(t0) , | x(t0) − φ(t0) | < δ , существует при всех t ≥ t0 ;

— для всех таких решений справедливо неравенство | x(t0) − φ(t0) | < δ , при всех t ≥ t0 .

Геометрически это означает, что интегральные кривые x = x(t), близкие в момент t = t0 к интегральной кривой x = φ(t), остаются близкими к ней и на всем промежутке [t0 , ∞) .

И нтегральные кривые и фазовые траектории, отвечающие асимптотически устойчивым решениям, тоже называются асимптотически устойчивыми.

На рисунке чёрным изображена асимптотически устойчивая фазовая траектория, некой системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая начинается в точке (0.3, 0), и две, начинающиеся вблизи неё, траектории

.

27,