58 Основная теорема теории вычетов
Теорема. Пусть 
- аналитическая
внутри контура С функция
за исключением конечного числа
изолированных особых точек 
.
Тогда
.
Именно эта теорема дает возможность вычислять целые классы несобственных интегралов через вычеты функции . Приведем только простейшую из соответствующих теорем.
Вычисление
интегралов вида 
Теорема. Пусть
есть
функция, аналитическая в верхней
полуплоскости 
за
исключением конечного числа изолированных
особых точек, и существуют такие 
и 
,
что
,где
сумма берется по всем особым точкам,
лежащим в верхней полуплоскости
.
Тогда
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные сведения о ДУ (обыкновенные ДУ, ОДУ n-ого порядка, решение ДУ на интервале).
Задача Коши для ду 1-ого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ду 1-ого порядка.
Геометрическая интерпретация ДУ 1-ого порядка. Метод изоклин.
Задача Коши для ДУ n-ого порядка. Общее решение, частное решение, особое решение ДУ n-ого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные ДУ 1-ого порядка.
Линейные ДУ 1-ого порядка (метод подстановки Бернулли, метод вариации произвольной постоянной Лагранжа).
Уравнение Бернулли.
Уравнение в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения. Задача Коши.
ДУ, допускающие понижение порядка (на примерах ДУ 2-ого порядка).
ДУ порядка выше второго, допускающие понижение порядка.
Линейные неоднородные, однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Свойства решений линейных однородных ДУ. Определитель Вронского. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ 2-ого порядка.
Линейные однородные ДУ 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай действительных различных и кратных корней характеристического уравнения.
Линейные однородные ДУ 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения.
Линейные однородные ДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные ДУ 2-ого порядка. Теорема о структуре общего решения неоднородного ДУ.
Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа) для отыскания частного решения линейного неоднородного ДУ 2-ого порядка.
Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Системы ДУ. Нормальные системы. Теорема о существовании и единственности решения нормальной системы ДУ. Задача Коши для системы ДУ.
Геометрический смысл решения нормальной системы ДУ. Фазовое пространство. Фазовая траектория. Автономные системы. Метод исключения.
Системы линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы ДУ.
Решение системы линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами. Случай действительных различных корней характеристического уравнения.
Решение системы линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами. Случай различных корней характеристического уравнения, среди которых имеются комплексные.
Неоднородные системы линейных ДУ. Теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы ДУ.
Устойчивость решений ДУ по Ляпунову. Понятие точки покоя системы ДУ, устойчивость точки покоя системы по Ляпунову, асимптотическая устойчивость.
Критерии устойчивости решений ДУ с постоянными коэффициентами.
Метод функций Ляпунова при исследовании на устойчивость точки покоя нелинейной системы ДУ.
Устойчивость по первому приближению при исследовании точки покоя нелинейной автономной системы ДУ.
Простейшие типы точек покоя системы линейных ДУ. Характер точки покоя ДУ, устойчивость точки покоя системы ДУ в зависимости от вида корней характеристического уравнения системы ДУ. Случай действительных корней.
Простейшие типы точек покоя системы линейных ДУ. Случай комплексных и действительных, кратности два, корней характеристического уравнения системы ДУ.
Числовой ряд, сумма ряда. Ряд геометрической прогрессии. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. Признаки сравнения рядов.
Признак Даламбера.
Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными членами.
Интегральный признак Коши. Обобщённый гармонический ряд.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
Функциональные ряды. Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда. Свойства равномерно-сходящихся рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Действия над степенными рядами.
Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Применение рядов в приближённых вычислениях (вычисление функций, интегралов, решение ДУ).
Ортогональные системы функций. Гильбертово пространство. Периодические процессы и периодические функции. Основная тригонометрическая система функций.
Тригонометрический ряд Фурье. Условия разложения функции в ряд Фурье.
Ряд Фурье для функций, заданных на отрезке [-l;l], с периодом Т = 2l. Ряды Фурье для l чётных и нечётных функций.
Представление непериодической функции рядом Фурье. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций.
Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье.
Понятие функции комплексного переменного. Предел и непрерывность.
Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Свойства аналитических функций.
Понятие о конформном отображении. Отображение, осуществляемое линейной функцией.
Интеграл от функции комплексного переменного. Свойства.
Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной области.
Интеграл Коши. Интегральная формула Коши.
Степенные ряды в комплексной области. Ряд Тейлора. Ряд Лорана.
Классификация изолированных особых точек однозначной функции.
Вычет аналитической функции в изолированной особой точке, в устранимой особой точке.
Вычисление вычетов в полюсе, в бесконечно удалённой точке.
Основная теорема о вычетах. Вычисление некоторых определённых и несобственных интегралов с помощью вычетов.