Вопросы к билетам

Вопросы к билетам по курсу математического анализа для факультета «К»

1. Исследование графика функции одной переменной на выпуклость. Точки перегиба.

2. Асимптоты графика функции и их отыскание.

3. Спрямляемые кривые. Длина дуги спрямляемой кривой.

4. Первообразная и неопределенный интеграл. Их определения и свойства. Таблица основных интегралов.

5. Интегрирование рациональных функций. Разложение на простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей.

6. Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости функции.

7. Суммы Дарбу. Их свойства.

8. Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.

9. Теорема об интегрируемости непрерывной на отрезке функции.

10. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке функции.

11. Интегрируемость ограниченной на отрезке функции с конечным числом точек разрыва.

12. Свойства линейности и аддитивности интеграла Римана.

13. Свойства интеграла Римана, выраженные неравенствами.

14. Теорема о среднем для интеграла Римана и его следствие.

15. Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.

16. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

17. Теорема о замене переменной и интегрируемости по частям в интеграле Римана.

18. Понятие квадрируемости плоской фигуры. Квадрируемость криволинейной трапеции.

19. Выражение длины дуги гладкой кривой в виде интеграла Римана.

20. Определение сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Критерий Коши и признаки сравнения.

21. Абсолютная и условная сходимость. Признак Дирихле-Абеля сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку.

22. Определение сходимости несобственного интеграла от неограниченной функции. Критерий Коши и признак сравнения.

23. Определение многомерного евклидова пространства Е^m. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника.

24. Предел последовательности точек в Е^m. Критерий Коши сходимости последовательности точек в Е^m.

25. Ограниченность сходящейся последовательности точек в Е^m. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

26. Предел функции многих переменных в точке по совокупности переменных и по отдельной переменной.

27. Непрерывность функции многих переменных в точке и на множестве. Непрерывность сложной функции.

28. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции многих переменных.

29. Первая теорема Вейерштрасса для функции многих переменных.

30. Вторая теорема Вейерштрасса для функции многих переменных.

31. Теорема Кантора для функции многих переменных.

32. Дифференцируемость и дифференциал для функции многих переменных в точке. Честные производные. Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

33. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных в точке.

34. Дифференцируемость сложной функции многих переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

35. Производная по направлению. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

36. Частные производные высших порядков. Условие независимости частной производной от порядка дифференцируемости. Дифференциалы высших порядков. Не инвариантность формы дифференциала второго порядка.

37. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции многих переменных.

38. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для функции многих переменных.

39. Экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума.

40. Достаточное условие экстремума для функции многих переменных.

41. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (без доказательства).