§ 2. Неравенства Чебышёва

Все неравенства в этом параграфе принято относить к одному классу, называемому «неравенствами Чебышёва». Следующее неравенство часто называют неравенством Чебышёва, хотя в такой форме оно появилось впервые, видимо, в работах Маркова⁽¹⁾.

Теорема 32   (неравенство Маркова). Если , то для любого

Доказательство. Нам потребуется следующее понятие.

Определение 51. Пусть — некоторое событие. Назовём индикатором события случайную величину , равную единице, если событие произошло, и нулю, если не произошло.

По определению, величина имеет распределение Бернулли с параметром , и её математическое ожидание равно вероятности успеха . Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством . Поэтому

Тогда

(21)

Осталось разделить обе части неравенства (21) на положительное .

QED

Следующее неравенство мы будем называть обобщённым неравенством Чебышёва.

Следствие 17   (обобщённое неравенство Чебышёва). Пусть функция не убывает и неотрицательна на  . Если , то для любого

Доказательство. Заметим, что , поскольку функция не убывает. Оценим последнюю вероятность согласно неравенству Маркова, которое можно применять в силу неотрицательности  :

QED

Бьенеме⁽²⁾ и Чебышёв, независимо друг от друга, прямыми методами доказали неравенство, которое нам будет удобно получить как следствие неравенства Маркова.

Следствие 18   (неравенство Чебышёва — Бьенеме). Если , то для любого

Доказательство. Для неравенство равносильно неравенству , поэтому

QED

В качестве следствия получим так называемое «правило трёх сигм», которое означает, что вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии, мала. Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя: для нормального распределения, например, 0,0027 — см. свойство 12. Мы получим верную для всех распределений с конечной дисперсией оценку сверху для вероятности случайной величине отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии.

Следствие 19. Если , то .

Доказательство. Согласно следствию 18,

QED