2. Анализ сложной электрической цепи

2.1. Задание

1. Построить схему рассчитываемой электрической цепи по её кодировке в соответствии с вариантом.

2. Рассчитать мгновенные токи в ветвях схемы методом контурных токов, контуры обозначить по порядку, следуя возрастанию номеров соответствующих связей.

3. Рассчитать мгновенные токи в ветвях схемы методом узловых напряжений (базисный узел «0») .

4. Составить уравнения электрической цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме без решения и проверить их, используя результаты расчетов из пунктов 2 и 3.

5. Определить ток, мгновенное значение ветви n методом эквивалентного генератора.

6. Проверить баланс активных и реактивных мощностей.

7. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений в одной координатной системе.

8. Определить по векторно-топографической диаграмме сдвиг фаз между узловым напряжением U₂₃ и током I₆

2.1.1. Построение схемы рассчитываемой электрической цепи по её кодировке в соответствии с вариантом

Таблица 1

Кодировка рассчитываемой электрической цепи

Схема

Схема

Код

ветви

Код

ветви

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

5.

9.

Рис. 1. Общий вид электрической схемы

Таблица 2

Кодировка схемы

Вариант
7	1	4	2	1	8	1

Рис. 2.  Рассчитываемая электрическая схема

2.1.2. Исходные данные

Значения сопротивлений ветвей цепи:

=3

=5

=4

=6

Значения э.д.с ветвей цепи:

Значения источников тока ветвей цепи:

Ветви дерева: 1, 4, 6

Ветвь «n»: 1

Узел «0»: 3

2.2. Расчет мгновенных токов в ветвях схемы методом контурных токов

В матричном виде система уравнений для метода контурных токов выглядит следующим образом:

ℂ где

ℂ — матрица контуров размера n × p (где n — количество независимых контуров, р — количество звеньев) , в которой i–я строка соответствует независимому контуру i, а j–й столбец соответствует звену j, причём элемент C_ij равен

• 0, если ребро j не входит в контур i;

• 1, если ребро входит в контур и направление ребра соответствует направлению обхода контура;

• –1, если ребро входит в контур и направление ребра противоположно направлению обхода контура.

Для каждого ребра задаётся направление, которое обычно ассоциируется с направлением тока в этом ребре;

  — диагональная матрица сопротивлений размера p × p, в которой диагональный элемент Z_ii равен сопротивлению i–го ребра, а недиагональные элементы равны нулю;

 — транспонированная матрица контуров;

  — матрица-столбец контурных токов размером n × 1.

  — матрица-столбец источников тока размером p × 1, где каждый элемент равен току источника в соответствующем ребре, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник тока отсутствует; положительная, если направление тока источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае;

 — матрица-столбец источников ЭДС размером p × 1, где каждый элемент равен ЭДС источника в соответствующем ребре, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник ЭДС отсутствует; положительная, если направление ЭДС источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае.

Рис. 3.  Граф электрической цепи

В соответствии с заданными ветвями дерева, сформируем матрицу основных контуров , матрицу сопротивлений цепи , матрицу источников , .

6х1	1
	4
	6
	2
	3
	5

6х1	1
	4
	6
	2
	3
	5

		1	4		6		2		3		5
3х6	2	1		-1				1
	3	1				1				1
	5			1		1						1

		1	4	6	2	3	5
	1
	4
6x6	6
	2
	3
	5

Перемножаем матрицы в соответствии с матричным уравнением.

Транспонируем матрицу основных контуров:

		2	3		5
ℤ	1
	4
	6
	2
	3
	5

			2	3		5
6х3	1	1			1
	4	-1					1
	6				1		1
	2	1
	3				1
	5						1

Матрица сопротивлений контуров:

=

ℤ

=	) +
	) +
	+

Система уравнений:

+ =

Систему уравнений решаем с помощью программы MathCAD 2001:

		1	1
		-1		1
	=		1	1			=
		1
			1
				1

	=
	=
	=
	=
	=
	=

		=
		=

Мгновенные токи:

1.702