48. Модель Солоу. Уровень капиталовооруженности и “золотое правило”.
Р.Солоу показал, что нестабильность динамического равновесия была следствием невзаимозаменяемости факторов произ-ва. Он исп-л в св модели производ-ную f-цию, в к-ой труд и капитал я-ся взаимозаменяемыми. Предпосылки анализа в модели Солоу:
- убывающая пред-я производ-сть капитала,
- постоянная отдача от масштаба,
- постоянная норма выбытия,
- отсутствие инвестиционных льгот.
S в модели и производ-ная f-ция.
Y
=F(K,L)–выпуск
в нац эк-ке опр-ся капиталом и трудом, а
произв-ная f-ция обладает св-вом постоянной
отдачи от масштаба: ZY=F(zK, zL). Т.е. Увел-е
кол-ва факторов в определ. число z
раз ведет к увел-ю объема выпуска в такое
же число раз.
Исп-я дан рав-во Солоу переходит к интенсивной форме произв-ной f-ции: Z=1/L, то Y/L = F ( К/L,1). Обозначим:
Y/L = y – производ-сть в расчете на 1-го работника; К/L = k – капиталовоор-сть на 1-го работника.
Перепишем исходную f-цию в форме взаимосвязи м/производ-стью и капиталовоор-стью: y = f (k) – производ-сть я-ся f-цией от капиталовоор-ти.
Солоу исп-т убывающую f-цию произв-ти труда по фактору капиталовоор-ти. Дан f-ция удовлетворяет условиям Ѝнады:
1.
;
2. 
;
3. 
;
4. 
Д
ан
условия опр-т убывающую предельную
произ-ть труда и капитала, т.е. добавление
к каж послед-щей единице капитала при
постоянстве фактора труд я-ся все менее
производ-ным, то же самое отн-ся и к
труду. С др стороны при дефиците каж из
факторов любое незначительное приращении
фактора оказ-ся существенным д/вып-ка.
Убывающая производ-ть по фактору
капиаловоор-ть м.б. проиллюстрирована
касательными к графику интенсивной
f-ции.
Д
анную
величину наз-т предельным продуктом
капитала MPK. Показывает как произв-ть
труда при увеличении капиталовоор-ти
на единицу: 
x= k*MPK=p ; y-p=w
D и f-ция потребления.
В модели Солоу не рассм-ся приват-ный сектор и внешн сектор. D распадается на потреб-е рабочих и на D на инвестиционные товары.
y = c + i c – потребление 1 работником; i – инвестиции 1 работника; y – продукт на 1 работника
с = ( 1 – s)y s – сбережения =>
y = (1 – s)y + i => y = y – sy + I =>
sy = i
Т.О., и в этой модели сбережения совпадают с инвестициями.
Устойчивый уровень капиталовоор-ти.
Капиталовоор-ть м. изм-ся вследствие: ввода нов мощностей, т.е. инвестиций; в рез-те износа и выбытия производ-х мощностей.
Т
.О.,
изменение капиталовоор-ти: k=
+i- δk, где δ (дельта) – норма выбытия,
амортизация.
I = sy => k= sf (k)- δk
k = 0
k1 = ввод > выбытие; k2 = ввод < выбытие; k* = ввод = выбытие
Солоу опр-т устойчивый уровень капиталовоор-ти при условии, что ввод капитала равен его выбытию (k*).
Рассмотрим 2 уровня капиталовоор-ти:
k
1:
в силу того, что скорость ввода капитала
замедляется. а темп выбытия остается
постоянным, то постепенно ввод и выбытие
сравняются и капиталовоор-ть окажется
в устойчивом сост-и.
k2: выбытие капитала б превышать ввод и скорость выбытия б. выше темпа ввода, то, постепенно снижаясь, уровень капиталовоор-ти перейдет в устойчивое сост-е.
Т.О., доказано существование уровня капиталовоор-ти.
Изменение нормы сбережений.
Правит-во м/т влиять на уровень нормы сбережений. Предположим, что некот-м п/п–ям удалость поднять норму сбережений с уровня S1 до уровня S2. Сразу после ↑ нормы сбережений повышается ввод инвестиций. Однако, выбытие капитала остается постоянным. П/му устойчивый уровень капиталовоор-ти б. постоянно повышаться пока не достигнет нового более высокого устойчивого уровня капиталовоор-ти, к-му б. соот-ть большая проивод-ть труда и устойчивый уровень капиталовоор-ти тоже поднимется с k*1 до k*2.
Модель Солоу показ-т, что норма сбережений я-ся ключевой детерминантой устойчивой капиталовоор-ти. При более высокой норме сбережений эк-ка имеет большую производ-ть, более высокие темпы эк роста и большой запас капитала. Однако, в рамках данной модели невозм-но объяснить непрерывного устойчивого эк роста, т.к. эк-ка растет лишь до нов устойчивого уровня капиталовоор-ти, а потом рост заканчивается.
Уровень капиталовоор-ти и «золотое правило».
П
рав-во
меняя макроэк параметры в сост-нии
изм-ть устойчивый уровень капиталовоор-ти.
Тем самым возм-но выбирать из разл
уровней капиталовоор-ти. Целью эк роста
я-ся ↑ благосост-я населения, а след-но
↑уровня потреб-я. П/му в политике б.
стремиться опр-ть так устойчивый уровень
капиталовоор-ти, при к-ом достигается
max уровень потреб-я. Так max уровень
капиталовоор-ти обозн-ся k**.
y = c + i c – потреб-е 1 раб-ком; i – инвестиции 1 раб-ка; y – продукт на 1 раб-ка
c = y - i , i = sf(k)
В устойч сост-нии вып-ся равенство:
sf (k*) = δk* => i* = δk* => c* = f(k*) - δk* где c* - оптимальный уровень потребления.
Необх-мо найти max расстояние м/этими двумя линиями. Необх-мо провести касательную параллельно δk*: |AB|=max c*
Устойчивый уровень капиталовоор-ти обеспечивающий max потреб-е в расчете на 1-го работника наз-ся «Золотым правилом», к-ый нах-ся из уравнения:
MPK = δ, tg α = δ
Достижение k** возм-но из 2-х разл начальных состояний:
Э
Y
В
этом случае необх-мо ↓ норму сбережений,
д/того, чтобы ↓ устойчивый уровень
капиталовоор-ти (запаса капитала).
Предположим, что дан политика увенчалась
успехом, и в некот-й момент времени t0 в
эк-ке установился “золотой” уровень
капиталовоор-ти. ↓ нормы сбережений
приведет к ↓ уровня инвестиций в эк-ке.
В следствие этого произойдет ↓ уровня
дохода. Одновр-но с этим происходит
резкий ↑ потребления. Однако уменьшающийся
уровень капиталовоор-и выводит эк-ку
из устойчивого состояния. Постепенно
по мере ↓ запасов капитала выпуск
продукции, инвестиции и потребления
также ↓ до нов устойчивого состояния
– состояние, соот-щее “золотому правилу”.
П/му нов уровень потребления устан-ся
все же выше, чем он был до изменения
нормы сбережения.
2. Эк-ка начинает развиваться с меньшей капитальностью, чем по “золотому правилу”.
В
этом случае эк-ке необх-мо увеличить
норму сбережений. Она в некот-й момент
времени t0 вызывает немедленное ↓
потребления и ↑ инвестиций. ↑ инвестиций
приводит к ↑ капиталовооруженности,
что вызывает постепенное ↑ выпуска
инвестиций и потребления до достижения
нов устойчивого уровня. Поскольку
потребление в начальном устойчивом
состоянии было ниже, чем по “золотому
правилу”, то дан рост приведет к более
высокому уровню потребления.
Когда начальная капиталовоор-ть выше, чем по “золотому правилу”, достижение устойчивого состояния с max-м потребления сопровождается более высоким уровнем потреб-я в течении всего рассма-го периода. Когда же начальный уровень капиталовоор-ти ниже, чем по “золотому правилу”, достижение устойчивого сост-я по “золотому правилу” требует немедленного снижения потребления, для того чтобы повысить его в будущем.
Рост населения.
Б
азовая
модель Солоу демонстрирует, что ↑
гакопления капитала и самого капитала
не м. объяснить непрерывный эк рост.
П/му в последствии она б. расширена
посредством включения в нее нов факторов
эк роста, а именно роста населения и
развития НТП.
Lt = L t-1 (1+n); Lt = L 0 (1+n)t; L = L0ent
Солоу предположил, что население ежегодно прирастает с темпом n. Возм-но при небольших темпах роста населения исп-ть эк потенциальную f-цию, к-ая опр-т ↑ темпа роста населения. С количественной стороны увеличение темпа роста населения озн-т снижение капитала на каж работника. След-но ↓ устойчивого уровня капиталовоор-ти: ∆k = sf(k) – δk – nk
П/му устойчивый уровень капиталовооор-ти: ∆k = sf(k) – (δ + n) * k
Произошло снижение уровня капиталовоор-ти: k* = K/L = const t2
Т.к. в устойчивом сост-и капиталовоор-ть не изм-ся, она постоянна, то и капитал т-же ↑ с темпом n: K=K0ent
Используя св-во произ-ной f-ции (постоянной отдачи от масштаба ) м утверждать, что если факторы произ-ва K и L ↑ с одинаковым темпом n, тогда валов выпуск т-же б. ↑ с темпом n. След-но темпы эк роста б. совпадать с темпом роста населения. Но, эк рост измеряется и др показателями, а именно подушевым выпуском. Рост населения не увеличивает дан показатель, п/му кач-во роста остается тем же самым. Однако рост населения все же объясняет непредвиденный рост выпуска продукции. Учет дан фактора изм-т и условия «золотого правила».
c
*
= f(k*) – (δ + n) * k*; MPK = δ + n