2. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

Жордановы исключения. Каждая строка симплекс-таблицы несет в себе всю необходимую числовую информацию из уравнения связи базисной и независимых переменных. Так, переменная y_r получается путем умножения r-й строки таблицы на вектор независимых переменных, дополненных единицей.

.

Переход к новому общему решению предусматривает замену местами одной базисной и независимой переменной. При этом изменяются векторы базисных и независимых переменных и элементы симплекс-таблицы.

Пусть имеется разрешающий элемент а_rs, в котором необходимо заменить y_r на х_s. Строку и столбец с замененными переменными называют разрешающими строкой и столбцами, а элемент, стоящий на их пересечении – разрешающим элементом.

В новой таблице на месте yr будет располагаться переменная x_s, а на месте x_s – переменная y_r.

Элементы новой симплекс-таблицы вычисляются по следующим правилам:

1. На месте разрешающего элемента в новой таблице записывается 1/a_rs.

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент, т.е. вместо a_rj в новую таблицу записывается a_rj/a_rs.

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и записываются в новую таблицу с противоположным знаком, т.е. вместо a_ij заносится (-a_ij/a_rs).

4. Элементы, не принадлежащие разрешающим строке и столбцу, вычисляются по формуле (2.1):

(2.1)

Из приведенных формул пересчета элементов следует вывод: замену переменных можно выполнить только в случае, когда разрешающий элемент не равен 0, т.е. a_rs0.

Описанная процедура носит название жордановых исключений. [2]

Если исходная задача имеет смешанную систему ограничений неравенств, то она приводится к эквивалентной системе уравнений путем введения в каждое неравенство вспомогательной, неотрицательной переменной y со знаком «+» или «-» в зависимости от знака отношения.

Решение задачи выполняется на ЭВМ с использованием компьютерной программы simplex.exe. разработанной на кафедре ТТГР. Решение, приведенное в табл. 1.1 представляет собой опорное решение и оптимальное. Решение является опорным, т.к. в столбце свободных членов отсутствует отрицательный элемент. А также решение является оптимальным, т.к. в строке целевой функции нет отрицательных элементов.

Согласно данной таблице решение следующие: (х₁ = х₂ = х₃ = х₄ = 0), поскольку независимые переменные всегда равны нулю. Но это решение не может быть принятым в качестве оптимального, поскольку оно исключает выполнение работ вообще.

Таким образом, необходимо изменить систему ограничений. А именно ввести жесткое ограничение (уравнение) дающее возможность обеспечить гарантированное выполнение работ на первой выработке, при этом общий объем работ будет равный 18. Введение большого количества жестких ограничений, возможно, может привести к значительному уменьшению столбцов симплекс-таблицы. Что может не позволить решить данную задачу. Новая система ограничений будет иметь вид (2.2):

(2.2)

При занесении в симплекс-таблицу систему ограничений, у независимых элементов необходимо изменить знак на противоположный. Так как в базисном решении все независимые переменные равны нулю (х = 0).

Таким образом, математическая модель, записанная, в симплекс-таблице будет иметь вид (табл.2.1):

Таблица 2.1 – Исходная симплекс-таблица.

Решение, приведенное в табл. 2.1 не содержит базисного решения, потому что первый элемент столбца базисных переменных содержит нуль-переменную. Чтобы получить базисное решение необходимо нуль-переменную вывести из базисного решения. Эту операцию нужно совершить последовательным шагом жордановых исключений. А именно ввести независимую переменную в базисную переменную, а столбец под ней сократить (табл. 2.2).

Таблица 2.2-Интерация 1

Решение, приведенное в табл. 2.2 не является опорным. Так как в столбце свободных членов имеется отрицательный элемент. Выполнив следующий шаг жордановых исключений, получим следующее решение (табл. 2.3):

Таблица 2.3-Интерация 2

Решение, приведенное в табл.2.3 является опорным. Так как в столбце сводных членов отсутствует отрицательный элемент. Но не является оптимальным, так как в строке целевой функции имеется отрицательный элемент. Выполнив следующий шаг жордановых исключений, получим следующее решение (табл. 2.4):

Таблица 2.4-Интерация 3

Решение, приведенное в табл. 2.4 является оптимальным, так как в строке целевой функции отсутствует отрицательный элемент. Данное решение допускает отсутствие работ на второй выработке (х₃ = х₄ = 0), а из работающей первой выработки породу вывозят только на второй отвал (х₁=0; х₂=18). Данное решение оптимально с точки зрения линейного программирования, но не может быть принято нами оптимальным, так как предусматривает полное отсутствие работ на второй выработке. При этом транспортная работа z = 140 тыс.м^3.км.

Таким образом, необходимо изменить систему ограничений. А именно ввести жесткое ограничение (уравнение) дающее возможность обеспечить гарантированное выполнение работ на первой выработке и на второй выработке, при этом общий объем работ на первой выработке будет равный 18, а на второй-15. Новая система ограничений будет иметь вид (2.3):

(2.3)

При занесении в симплекс-таблицу систему ограничений, у независимых элементов необходимо изменить знак на противоположный. Так как в базисном решении все независимые переменные равны нулю (х = 0).

Таким образом, математическая модель, записанная, в симплекс-таблице будет иметь вид (табл.2.5):

Таблица 2.5 – Исходная симплекс-таблица.

Решение, приведенное в табл. 2.5 не содержит базисного решения, потому что первый и второй элементы столбца базисных переменных содержат нуль - переменные. Чтобы получить базисное решение необходимо нуль- переменную вывести из базисного решения. Эту операцию нужно совершить последовательным шагом жордановых исключений. А именно ввести независимую переменную в базисную переменную, а столбец под ней сократить (табл. 2.6).

Таблица 2.6-Интерация 1

Решение, приведенное в табл. 2.6 не содержит базисного решения, потому что первый элемент столбца базисных переменных содержит нуль-переменную. Чтобы получить базисное решение необходимо нуль-переменную вывести из базисного решения. Эту операцию нужно совершить последовательным шагом жордановых исключений. А именно ввести независимую переменную в базисную переменную, а столбец под ней сократить (табл. 2.7).

Таблица 2.7-Интерация 2

Решение, приведенное в табл. 2.7 является оптимальным, так как в строке целевой функции отсутствует отрицательный элемент. Данное решение допускает отсутствие работ на второй выработке (х₃ = х₄ = 0), и при этом породу вывозят только из первой выработки (х₁ = 15; х₂ = 3). Данное решение оптимально с точки зрения линейного программирования, но не может быть принято нами оптимальным, так как предусматривает полное отсутствие работ на второй выработке. При этом транспортная работа z = 161 тыс.м^3.км.

Таким образом, необходимо изменить систему ограничений. А именно ввести жесткое ограничение (уравнение) дающее возможность обеспечить гарантированное выполнение работ на первой выработке, при этом общий объем работ будет равный 21. Новая система ограничений будет иметь вид (2.4):

(2.4)

При занесении в симплекс-таблицу систему ограничений, у независимых элементов необходимо изменить знак на противоположный. Так как в базисном решении все независимые переменные равны нулю (х = 0).

Таким образом, математическая модель, записанная, в симплекс-таблицу будет иметь вид (табл.2.8):

Таблица 2.8 – Исходная симплекс-таблица.

Решение, приведенное в табл. 2.8 не содержит базисного решения, потому что первый элемент столбца базисных переменных содержит нуль-переменную. Чтобы получить базисное решение необходимо нуль-переменную вывести из базисного решения. Эту операцию нужно совершить последовательным шагом жордановых исключений. А именно ввести независимую переменную в базисную переменную, а столбец под ней сократить (табл. 2.9).

Таблица 2.9-Интерация 1

Решение, приведенное в табл. 2.9 является базисным, так в столбце базисных переменных отсутствует нуль-переменная. Но решение не является опорным. Так как в столбце свободных членов имеется отрицательный элемент. Необходимо выполнить следующий шаг жордановых исключений (табл. 2.10).

Таблица 2.10-Интерация 2

Решение, приведенное в табл. 2.10 является опорным. Так как в столбце сводных членов отсутствует отрицательный элемент. Но решение не является оптимальным, так как в строке целевой функции имеется отрицательный элемент. Выполнив следующий шаг жордановых исключений, получим следующее (табл. 2.11):

Таблица 2.11-Интерация 3

Решение, приведенное в табл. 2.11 является оптимальным, так как в строке целевой функции отсутствует отрицательный элемент. Данное решение допускает отсутствие работ на первой выработке (х₁ = х₂ = 0), а из работающей второй выработки породу вывозят только на второй отвал (х₃ = 0; х₄ = 21). Данное решение оптимально с точки зрения линейного программирования, но не может быть принято нами оптимальным, так как предусматривает полное отсутствие работ на первой выработке. При этом транспортная работа z = 67 тыс.м^3.км.

Таким образом, необходимо изменить систему ограничений. А именно ввести жесткое ограничение (уравнение) дающее возможность обеспечить гарантированное выполнение работ на первой и второй выработке, при этом общий объем работ на первой выработке будет равный 18, а на второй-29. Новая система ограничений будет иметь вид (2.5):

(2.5)

При занесении в симплекс-таблицу систему ограничений, у независимых элементов необходимо изменить знак на противоположный. Так как в базисном решении все независимые переменные равны нулю (х = 0).

Таким образом, математическая модель, записанная, в симплекс-таблицу будет иметь вид (табл.2.12):

Таблица 2.12 – Исходная симплекс-таблица.

Решение, приведенное в табл. 2.12 не содержит базисного решения, потому что первый и второй элементы столбца базисных переменных содержат нуль-переменную. Чтобы получить базисное решение необходимо нуль- переменную вывести из базисного решения. Эту операцию нужно совершить последовательным шагом жордановых исключений. А именно ввести независимую переменную в базисную переменную, а столбец под ней сократить (табл. 2.13).

Таблица 2.13-Интерация 1

Решение, приведенное в табл. 2.13 не содержит базисного решения, потому что второй элемент столбца базисных переменных содержит нуль-переменную. Чтобы получить базисное решение необходимо нуль-переменную вывести из базисного решения. Эту операцию нужно совершить последовательным шагом жордановых исключений. А именно ввести независимую переменную в базисную переменную, а столбец под ней сократить (табл. 2.14).

Таблица 2.14-Интерация 2

Решение, приведенное в табл. 2.14 является базисным, так в столбце базисных переменных отсутствует нуль-переменная. Но решение не является опорным. Так как в столбце свободных членов имеется отрицательный элемент. Необходимо выполнить следующий шаг жордановых исключений (табл. 2.15).

Таблица 2.15-Интерация 3

Решение, приведенное в табл. 2.15 является оптимальным, так как в строке целевой функции отсутствует отрицательный элемент.

Данное решение показывает, что работы ведутся на двух выработках. При этом:

Объем горной породы, вывозимой из первой выработки на первый отвал х₁ = 0, т.е. горная порода из первой выработки на первый отвал не вывозится.

Объем горной породы, вывозимой из первой выработки на второй отвал х₂ = 18 тыс. м³ км.

Объем горной породы, вывозимой со второй выработки на первый отвал х₃ = 0, т.е. горная порода со второй выработки на первый отвал не вывозится.

Объем горной породы, вывозимой из второй выработки на второй отвал х₄ = 11 тыс. м³ км.

Произведем проверку, подставив, данное полученное решение в систему ограничений (2.5), и получим (2.6):

(2.6)

Из системы уравнений (2.6) видно, что данное решение допускает выполнение максимальной приемной способности второго отвала, тыс. м³ (х = 29). А также, что работы ведутся на двух выработках. И при этом первый отвал не задействован.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате решения поставленной задачи установлены следующие оптимальные работы вывоза горной породы из выработок.

Вывоз горной породы должен осуществляться из первой и второй выработок на второй отвал. Первый отвал не задействован.

При этом выполняются все ограничения из данного соотношения объемов работ.

ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Резниченко С.С., Подольский М.П., Ашихмин А.А Экономико-математические методы и моделирование в планировании и управлением горным производством. Уч. для вузов - М: Недра, 1991. -429 с.

2. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., Наука, 1986.

3. Венцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология, М., Наука, 1980.

4. Методичні вказівки до курсової роботи з дисципліни "Математичне програмування в бурінні" для студентів спеціальності 7.090306 "Буріння"// Склад. Н.Т. Филимоненко, С.Н. Парфенюк - Донецьк: ДонНТУ, 2006 - 22 с.

19