19.Дифференциал функции. Инвариантность формулы первого дуфференциала.

Дифференциал функции. Функция называется дифференцируемой в точке , предельной для множества E, если ее приращение Δf(x₀), соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде: Δf(x₀) = A(x₀)(x - x₀) + ω(x - x₀),     (1) где ω(x - x₀) = о(x - x₀) при x → x₀.

Отображение , называется дифференциалом функции f в точке x₀, а величина A(x₀)h - значением дифференциала в этой точке. Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df(x₀), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом, df(x₀) = A(x₀)h. Разделив в (1) на x - x₀ и устремив x к x₀, получим A(x₀) = f'(x₀). Поэтому имеем: df(x₀) = f'(x₀)h.     (2). Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала df(x₀) (при f'(x₀) ≠ 0) есть главная часть приращения функции f в точке x₀, линейная и однородная в то же время относительно приращения h = x - x₀. Инвариантность формы первого дифференциала. Если x - независимая переменная, то dx = x - x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем: df(x₀) = f'(x₀)dx. (3) Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t₀)dt. Следовательно, т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

20.Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом, f"(x) = (f'(x))'. Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак, f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x). Число n называется порядком производной. Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом, dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0. В этом случае справедлива формула dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ. Производные n-го порядка от основных элементарных функций. Справедливы формулы

→ → →

Формула Лейбница. Если u и v - n-кратно дифференцируемые функции, то Производные n-го порядка вектор-функции, комплекснозначной и матричной функций. Если компоненты n-кратно дифференцируемы, то . Аналогично для комплекснозначной функции f и матричной функции A имеем формулы: f⁽ⁿ⁾(x) = u⁽ⁿ⁾(x) + iv⁽ⁿ⁾(x);   dⁿf(x) = dⁿu(x) + idⁿv(x);

21.Уравнения касательной и нормали кривой.

y = f '(x0)·(x – x0) + f(x0)

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x₀, y₀), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy. Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x₀), то получаем уравнение y= f'(x₀)·x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x₀, y₀). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y₀= f'(x₀)·x₀ + b. Отсюда b=y₀– f'(x₀)·x₀. Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x₀)·x +y₀ – f'(x₀)·x₀ или

Если касательная, проходящая через точку М(x₀,y₀) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x₀. Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке. Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент k_n связан с угловым коэффициентом касательной k равенством: .

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x₀, y₀), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид: Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x₀) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y₀, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x₀.

Примеры.1.Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = tg²x в точке с абсциссой x₀=π/4.

Уравнение касательной имеет вид y =4·(x – π/4) + 1 или y = 4x – π + 1.

Уравнение нормали будет y = –1/4·(x – π/4) + 1 или у = –1/4·x + π/16 + 1.

Пр2.Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = 0.5·(x – 2)² + 5 в точке M(2; 5). y'= x – 2, y'(2) = 0 . Следовательно, касательная параллельна оси Ox, а значит ее уравнение y= 5 . Тогда нормаль параллельна оси Oy и имеет уравнение x= 2 .

Пр3.Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке M(2; 3).

Найдем y' по правилу дифференцирования неявной функции

Уравнение касательной: ,т.е. .

Уравнение нормали: , т.е. .

Пр4. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде x= t – sin t, y= 1 – cos tв точке М(x₀; y₀), которая соответствует значению параметра t = π/2. При t=π/2x₀= π/2 – 1, y₀=1. .

Уравнение касательной: y = x – π/2 + 1 + 1, т.е. у = x – π/2 + 2.

Уравнение нормали: y = – x – π/2 – 1 + 1, т.е. у = – x – π/2.