12. Производная функции, ее механический и геометрический смысл.

Производная. Рассмотрим некоторую функцию  y = f ( x ) в двух точках  x₀  и  x₀ + :  f ( x₀ ) и  f ( x₀ + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  f ( x₀ + )  f ( x₀ ) называется приращением функции. Производной функции  y = f ( x ) в точке  x₀  называется предел: Если этот предел существует, то функция   f ( x )  называется дифференцируемой в точке  x₀ . Производная функции   f ( x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной.  Рассмотрим график функции  y = f ( x ):

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:   где  - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀ ,  f ( x₀  ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f ’( x₀ )  имеет вид: y = f ’( x₀ ) · x + b . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: f ( x₀ ) = f ’( x₀ ) · x₀ + b , отсюда,  b =  f ( x₀ ) – f ’( x₀ ) · x₀ , и подставляя это выражение вместо  b, мы получим  уравнение касательной: y =  f ( x₀ ) +  f ’( x₀ ) · ( x – x₀  ) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +   точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ + )  x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна:  v_a = . При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем: отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).

13.Правила дифференцирования.

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u),

u = j(x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или ;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем   ≠ 0, то .  

14.Таблица основных производных.

15.Производная сложной и обратной функции.

Производная композиции (сложной функции)

Производная обратной функции

16.Производная неявно заданной функции.

Функция вида называется неявной. Дифференцируя обе части этого тождества по х (пользуясь правилом дифференцирования сложной функции), считая, что y есть функция от x , получим уравнение первой степени относительно y' . Из этого уравнения легко находят y' .

Пример. Решение: Дифференцируя по обе части уравнения, получи ;

17.Производная функции, заданной в параметрическом виде.

Пусть задана зависимость двух переменных и y от параметра , изменяющегося в пределах от до :

Пусть функция имеет обратную: . Тогда мы можем, взяв композицию функций и , получить зависимость от : . Зависимость величины y от величины , заданная через зависимость каждой из них от параметра в виде , называется функцией , заданной параметрически.

Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то

где  -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение . Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между и , снова выраженной в виде параметрической зависимости: , ; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции y(x). Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра . Покажем это на следующем примере.

Пример 4.22   Пусть зависимость между и y задана параметрически следующими формулами: Найдём уравнение касательной к графику зависимости в точке . Значения и получаются, если взять. Найдём производные и по параметру :

Поэтому При получаем значение производной

это значение задаёт угловой коэффициент искомой касательной. Координаты и точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково: Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости , , мы можем отыскать вторую производную функции по переменной :

        Пример 4.23   Пусть дана та же зависимость между и , что в предыдущем примере: Найдём выражение для второй производной через параметр . Ранее мы получили, что . Поэтому ; производную мы нашли выше. Получаем: Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить в формулу ; при этом получим:

18.Логорифмическая производная.— производная от натурального логарифма функции.

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложно-показательных.

Пусть (для краткости , где u и g - функции). Тогда , а . С другой стороны, , т.е. . Окончательно имеем . Производная произведения функций.Пусть задана функция (для краткости ). Так как . Окончательно получаем: . Можно расписать формулу и прийти к другой форме:

Если , то Раскрыв скобки, получим: В частности, если , то

Пр1. Найдем производную, от функции :