8. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций.

Бесконечно малая функция. Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности (a-,a+), >0, точки a ,  за исключением, быть может, самой точки a. Функция f(x) называется бесконечно малой при x, стремящемся к a, если  

Если f(x) — бесконечно малая в точке x=a, то для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число  , что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0<|x-a|< , справедливо неравенство |f(x)|<.

Неравенства |f(x)|<  для всех 0<|x-a|<, эквивалентные неравенствам - <f(x)<+,  a-<x<a+, значают, что для любого >0 существует такое , что для a-<x<a+, график функции расположен на плоскости в прямоугольнике x0y. 

Важно, что слова «за исключением, быть может, самой точки» означают, что нас не интересует сама эта точка. Это можно понять, если рассмотреть функцию

При x, стремящемся к нулю, функция таки стремится к нулю, независимо от того, какое значение она принимает в точке x=0. Следовательно, предел равен нулю и функция является бесконечно малой.

Пр 1. Бесконечно малые функции. Для доказательства того, что функция является бесконечно малой в окрестности данной точки, нужно вычислить в этой точке ее предел.

Сравнение бесконечно малых функций. Пусть (x) и (x) -  две функции, бесконечно малые в точке x=a. Если    то говорят, что (x) более высокого порядка малости, чем (x)и обозначают (x) =o((x)). 

Если же  то (x) более высокого порядка малости, чем (x) ; обозначают (x) =o((x)). 

Бесконечно малые функции (x) и (x) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если    обозначают (x) =const (x).И, наконец, если  

 не существует, то бесконечно малые функции (x) и (x) несравнимы.

Пр2. Сравнение бесконечно малых функций. Для того, чтобы сравнить две бесконечо малых   функции, нужно вычислить предел их отношения.

9. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

1. Так как , то в точке х = 0 имеем sin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство sin x = x + o(x).

2. Так как , то в точке х = 0 имеем tg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство tg x = x + o(x).

3. Так как , то в точке х = 0 имеем arcsin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arcsin x = x + o(x).

4. Так как , то в точке х = 0 имеем arctg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arctg x = x + o(x).

5. Так как , то , и в этом случае имеет место равенство

6. В точке х = 0 многочлен эквивалентен своему моному младшей степени

.

Поэтому при х = 0 имеем .    Использование теоремы о замене функции на эквивалентную под знаком предела упрощает вычисление предела. Например, .

7. Так как , то ln (1 + x) ~ x, и в этом случае имеет место равенство ln (1 + x) = x + o(x).

8. Так как , то ;.

9. Так как , то e^x ~ 1 + x, и в этом случае имеет место равенство e^x ~ 1 + x + o(x).

10. В случае натурального k имеем

поэтому для натурального k имеем , и в этом случае имеет место равенство (1 + x)^k = 1 + k·x + o(x)

11. Так как , то a^x ~ 1 + x·ln a,

и в этом случае имеет место равенство a^x ~ 1 + x·ln a + o(x)

12. Так как , то , и в этом случае имеет место равенство

  Замечание. К применению таблицы эквивалентности при вычислении пределов следует относиться с большим вниманием. Не следует думать, что этот метод является всеобъемлющим. Если применение таблицы эквивалентных бесконечно малых приводит к конечному результату при вычислении предела, то этот результат будет получаться и при любых методах вычисления этого предела. Следует познакомиться с образцами выполнения самостоятельной работы. Однако, в некоторых случаях этот метод не выводит предел из неопределённости, вопрос о значении предела остаётся открытым и посему следует уже применять другие методы вычисления предела. Например