5.Основные определения о пределах.

Как было отмечено в предыдущем параграфе, не всякая переменная величина а_n имеет предел при п —> ∞. В этом параграфе мы будем рассматривать только такие переменные величины, пределы которых существуют. Для таких величин мы без доказательства   укажем  несколько  важных  теорем.

Теорема 1. Предел константы равен самой этой константе: c = с.

Говоря о пределе константы с, мы имеем в виду предел числовой последовательности

c, c, c, ..., c, ... , все члены которой равны одному и тому же числу с.

Теорема 2.Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

(kа_n) = k •   а_n.

Пример.   В § 130 было доказано, что

Поэтому

Теорема 3. Предел суммы двух переменных величин равен сумме пределов этих величин:

(а_n + b_n) = а_n + b_n.

Пример.   В § 130 и 132 было доказано, что  ,       

Поэтому

Данная теорема верна не только для двух, но и для произвольного фиксированного числа слагаемых. Например, (а_n + b_n + c_n + d_n) = а_n + b_n+ c_n + d_n

Теорема 4. Предел   произведения двух переменных величин равен произведению пределов этих величин: (а_n • b_n) = а_n • b_n.

Пример.

И эта теорема верна не только для двух, но и для произвольного фиксированного числа сомножителей.  Например, (а_n • b_n • c_n • d_n) = а_n • b_n• c_n • d_n

Теорема 5. Предел дроби равен частному от деления предела числителя на предел знаменателя, если только предел знаменателя отличен от нуля:

Пример.    Пусть

в данном случае нельзя, поскольку а_n = 0.

Следует отметить, что, хотя доказательство приведенных теорем выходит за пределы школьной программы, некоторые ученики в состоянии доказать их. Поэтому тем учащимся, которые проявляют к математике особый интерес, мы предлагаем попытаться доказать эти теоремы. А теорему 1 должны  доказать   все.

Замечание. Необходимо напомнить соглашение, которое мы приняли в начале данного параграфа. Мы условились считать, что все рассматриваемые нами переменные величины имеют пределы. Если же это не так, то приведенные выше теоремы теряют смысл. Например, нельзя писать (см. теорему 2) : 5n² = 5    n² , поскольку предел n², очевидно, не существует. В заключение мы рассмотрим пример на вычисление предела переменной величины с использованием приведенных выше теорем. Пусть требуется найти Разделим числитель и знаменатель данной дроби на n². В результате получим: Теперь, используя приведенные выше теоремы,  получаем:

Здесь мы воспользовались очевидными равенствами:

6. Первый замечательный предел.

   Определение. Первым замечательным пределом называется предел

    

        Теорема. Первый замечательный предел равен

        Доказательство.     Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел также будет равняться 1. Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг

Пусть  -- площадь треугольника ,  -- площадь кругового сектора , а  -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . ПоэтомуНеравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

(2.3)

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству при , получаем, что

Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит, но

( -- нечётная функция), и поэтому

Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы. Доказанная теорема означает, что график функции выглядит так:

Рис.2.28.График

Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.

Пример 2.  Вычислим предел . Очевидно, что при этом предел знаменателя -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения, Пример 2.19   Вычислим предел . Сделаем замену переменного: пусть . Тогда и база переходит в базу . После замены получаем

Пример 2.20   Вычислим предел . Очевидно, что при этом предел знаменателя был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем

Пример 2.21   Вычислим предел . Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом: Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения: (Чуть ниже мы увидим, что пределы сомножителей существуют, так что применять эту теорему здесь можно.) Заметим, что при заменах и база переходит в базу и , так что и . Поэтому