4. Определение предела функции при

Определение 2. Переменная х стремится к бесконечности, если для каждого наперед заданного положительного числа М можно указать такое значение х, начиная с которого все последующие значения переменного будут удовлетворять неравенству  . Если  переменная х стремится к бесконечности, то ее называют бесконечно большой переменной величиной и пишут . Рассмотрим  некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу а или к бесконечности.

 Определение 1. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция  стремится к пределу  при х, стремящемся к , если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех х, отличных от   и удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство   . Если  есть предел функции f(x) при , то пишут:  или f (x) при .

 Если  при , то на графике функции , т.к. из неравенства  следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки  не далее чем на , точки М  графика функции  лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми   и  .

 Рассмотрим переменную величину у = f (х). При этом считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений  функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Если определенная так переменная величина у при  стремится к некоторому пределу , то будем писать  

и говорить, что функция у = f (х) стремится к пределу b при . Легко доказать, что оба определения предела функции эквивалентны. Замечание. Если f (x) стремится к пределу b₁ при х, стремящемся к некоторому числу  так, что x принимает только значения, меньшие , то пишут  и называют b₁ пределом функции f(x) в точке  слева. Если х принимает только значения большие, чем , то пишут  и называют b₂, пределом функции в точке   справа.

 Можно доказать, что если, предел справа и предел слева существуют и равны, т. е. , то b и будет пределом в смысле данного выше определения предела в точке . И обратно, еслт предел функции b в точке , то существуют пределы функции в точке   справа и слева и они равны.

 Замечание. Для существования предела функции при  не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки , отличные от ; это положение наглядно иллюстрируется следующим примером.

Пример. Докажем, что . Здесь функция  не определена при х=2.

 Нужно  доказать, что при произвольном  найдется такое , что будет выполняться неравенство   , (1), если | х — 2 | < . Но при х2 неравенство (1) эквивалентно неравенству

  (2) или .  Таким  образом, при произвольном  неравенство (1) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (2) (здесь  ). А это и значит, что данная функция при  имеет пределом число 4.

Рассмотрим  некоторые случаи изменения функции при . Определение 2. Функция f(x) стремится к пределу , если для каждого произвольно малого положительного числа  можно указать такое положительное число N, что для всех значении х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство . Зная смысл символов:  очевидным является и смысл выражений:

   стремится к b при  и  стремится к b при ,

 которые символически записываются так:  , .