3. Определение предела функции в точке.

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 . Число A называется пределом функции f(x) при x → x0 (или в точке x0), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x − x0| < δ, справедливо неравенство |f(x) − A| < ε,   т.е.

lim

x → x0

f(x) = A     ЬЮ     " ε > 0   $ δ > 0 :     0 < |x − x0| < δ Ю |f(x) − A| < ε.

Используем понятие окрестности и учтем, что 0 < |x − x0| < δ ЬЮ x О

δ (x0 )   и     |f(x) − A| < ε ЬЮ f(x) О Oε (A).

(Точка над символом окрестности указывает, что это проколотая окрестность.)

f(x) = A     ЬЮ     " ε > 0   $ δ > 0 :     x О

lim

x → x0

δ (x0 ) Ю f(x) О Oε (A).

·

O

Теперь определение предела функции в точке можно представить в виде

Еше проще:

lim

x → x0

f(x) = A     ЬЮ     " O (A)   $

· O (x0) :     x О ·

O

(x0) Ю f(x) О O (A).

Геометрический смысл того, что x О

(x0) Ю f(x) О O (A) поясняет рис.1

На этом рисунке проколотая окрестность (x0) точки x0 изображена красным отрезком на оси OX из которого исключена точка x0. Окрестность O (A) точки A изображена розовым отрезком на оси OY. Очевидно, что образ окрестности . о. (x0) при отображении y = f(x) содержится в O (A).

Пределы суммы, произведения и частного двух функций

Теорема 1. Если существуют

lim

x → x0

f(x) = A и

lim

x → x0

g(x ) = B, то существуют пределы

lim x → x0 [f(x) ± g(x) ] = A ± limB;       x → x0 [ f(x) · g(x) ] = A · B;       lim x → x0 f(x) g(x)<   =     A B  ,  (B ≠ 0). Теорема 2 (о переходе к пределу в неравенстве). Если   " x О . о (x0)    f(x)  ≤  g(x)     и существуют пределы lim

x → x0

f(x)   и  

lim

x → x0

g(x) , то

lim

x → x0

f(x)   ≤  

lim

x → x0

g(x) .

Замечание. Строгое неравенство f(x)<g(x) при переходе к пределу может перейти в равенство.

Теорема 3 (о пределе промежуточной функции). Если "x О .о

(x0)    u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) и

lim

x → x0

u(x)   =

lim

x → x0

v (x) = A,   то

lim

x → x0

f(x) = A.

Односторонние пределы

Пусть функция f(x) определена на интервале (x0, x1).

Число A называется пределом функции f(x) справа, в точке x0 если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых x0 < x < x0 + δ , справедливо неравенство | f(x) − A | < ε, т.е.

lim x → x0 + 0 f(x) = A   ЬЮ   " ε > 0    $ δ > 0 :     x0 < x < x0 + δ   Ю   | f(x) − A | < ε.

Предел функции f(x) в точке x0 справа обозначается символом f(x0 + 0). Число A называется пределом функции f(x) слева, в точке x1 если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых x1 − δ < x < x1 , справедливо неравенство | f(x) − A | < ε, т.е.

lim x → x1 − 0 f(x) = A   ЬЮ   " ε > 0    $ δ > 0 :     x1 − δ < x < x1   Ю   | f(x) − A | < ε.

Предел функции f(x) в точке x1 слева обозначается символом f(x1 − 0)

Теорема 4. Для того чтобы существовал предел

lim

x → a

f(x) , равный A, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны A оба односторонних предела

lim

x → a − 0

f(x)   и

lim

x → a + 0

f(x) .

Функция f(x) называется ограниченной в точке x0, если существуют число M > 0 и окрестность O(x0), такие что   " x О O(x0)   Ю   | f(x) | < M .

Теорема 5. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в точке x0 односторонние пределы, то она ограничена в этой точке.

Функция f(x) называется бесконечно большой при x → x0, если

" M > 0    $

· O (x0) :    " x О ·

O

(x0)     | f(x) | > M.

В этом случае принято говорить, что предел функции бесконечен, и записывать этот факт в виде.

lim x → x0 f(x) = ∞.

Прямая x = x0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов f(x0 + 0) и f( x0 − 0) равен + ∞ или −∞.

Некоторые (не не все!) примеры поведения графика функции y = f(x) вблизи вертикальной асимптоты x = x0 изображены на рис. 2.