38. Полный дифференциал функции двух переменных и его применение к приближённым вычислениям.

Дифференциал функции. Функция z = f (M) дифференцируема в точке М, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде суммы линейной части относительно приращений аргументов и слагаемых более высокого порядка малости относительно приращений аргументов: Δz = A Δx + B Δy + o (Δx, Δy (1), где .

   Определение. Дифференциалом функции z = f (M) в точке М называется линейная относительно приращений аргументов Δ x и Δ у часть полного приращения этой функции в этой точке: d z = A·Δ x + B·Δ y. (2)

Связь дифференциала с частными производными. В выражении дифференциала (2) величины А и В равны частным производным функции по соответствующим переменным:   и  .

Доказательство. Зафиксируем переменную у, так что она не получает приращения Δ y = 0. В этом случае полное приращение функции Δ z становится частным по переменной х и формула (1) принимает вид Δ_x z = A·Δx + o(Δ x). Откуда . (3)Переходя к пределу в обеих частях соотношения (3), получим , откуда, в силу определения частной производной  и определения бесконечно малой более высокого порядка, чем Δ х, получим . Что и требовалось доказать.Аналогично доказывается соотношение .  С учётом этого дифференциал (2) можно записать в виде (4). Из (4) следует, что дифференциалами независимых переменных х и у являются приращения этих переменных: dx = Δ x, dy = Δ y. Тогда дифференциал функции можно записать в виде .

   Из определения дифференциала следует, что разность между полным приращением и дифференциалом функции в точке М есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ х и Δ у: Δ z - dz = o(Δx, Δy). Отбрасывая при достаточно малых Δ х и Δ у величину o(Δ x, Δ y), получаем приближенную формулу Δ z » dz , из которой вытекает формула линеаризации для функции многих переменных: . Применение полного дифференциала для вычисления приближённого значения функции многих переменных

   Пример 1. Дана функция z = x² + y² – 2·x + 2·y и две точки А(1, 2) и В( 1,08; 1,94 ). Найти: 1.значение функции в точке В;

2.приближённое значение z₁ функции в точке В, заменяя приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность вычисления при замене приращения функции дифференциалом.

   Решение. Вычислим значение функции в точке В: z(B) = 1,08² + 1,94² – 2·1,08 + 2·1,94 = 6,65.  Приближенное значение z₁ в точке В найдём по формуле линеаризации:

z₁(B) = z₀ + dz, где z₀ = z(1, 2) = 1² + 2² – 2·1 + 2·2 = 7. Найдём приращения аргументов

Δ x = x – x₀ = 1,08 – 1 = 0,08; Δ y = y – y₀ = 1,94 - 2 = - 0,06. Найдём значения частных производных функции в точке А    . Найдём значение дифференциала Приближённое значение функции в точке В равно z = 7 − 0,36 = 6,64. Относительная погрешность вычисления равна