28.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x₀  существует вторая производная  f '' ( x₀ ), то  f '' ( x₀ ) = 0.

29.Асимптоты графика функции.

Определение. Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой  y = kx + b  стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая  y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x). Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

30.Общая схема исследования функции и построения графика.

1) найти область определения функции, промежутки непрерывности и точки разрыва;

2) найти асимптоты графика функции;

3) проверить симметрию графика, периодичность;

4) найти интервалы монотонности, экстремумы;

5) найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) найти точки пересечения с осями координат;

7)  провести в случае необходимости исследование на концах области определения;

8) построить график функции.

31. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена.

Если функция  имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка: , где ,

,

и т.д. Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена. Например, для функции двух

переменных при n=2: .

 ПРИМЕР 1.  Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности произвольной точки.

Аппроксимация функции многочленом. Выражение называется многочленом Тейлора n-го порядка. Поскольку , то в окрестности точки функцию можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать, ее многочленом Тейлора, т.е. . Чем ближе точка к точке , тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность возрастает с ростом n. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция , тем точнее представляет ее многочлен Тейлора.

32. Формула Маклорена для е^х

33. Формула Маклорена для sinx

34. Формула Маклорена для cosx

35. Формула Маклорена для ln(1+x)

36. Формула Маклорена для (1+x)^m где  

37. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл.

Величина z называется функцией переменных величин x и y на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определенное значение величины z.

Множество точек D называется областью определения функции. Обычно областью определения функции является некоторая часть плоскости, ограниченная одной или несколькими линиями.

Частными производными функции z = f(x,у) называются пределы отношения приращений функции z = z(х,у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δх → 0 и Δу → 0 соответственно:

Частная производная по х:

при вычислении считают у = const.

Частная производная по у:

при вычислении считают x = const.

Геометрически

, где α – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

, где β – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.