Вопросы по математическому анализу (1 семестр).

1. Множества и элементарные операции над ними. Понятие функции одной действительной переменной. График функции. Область определения.

2. Числовая последовательность и её предел.

3. Определение предела функции в точке.

4. Определение предела функции при

5. Основные теоремы о пределах.

6. Первый замечательный предел.

7. Второй замечательный предел.

8. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций.

9. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

10. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно больших функций. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

11. Непрерывность функции в точке и области, нарушения непрерывности, точки разрыва и их классификация.

12. Производная функции, ее механический и геометрический смысл.

13. Правила дифференцирования.

14. Таблица основных производных.

15. Производная сложной и обратной функции.

16. Производная неявно заданной функции.

17. Производная функции, заданной в параметрическом виде.

18. Логарифмическая производная.

19. Дифференциал функции. Инвариантность формулы первого дифференциала.

20. Производные и дифференциалы высших порядков.

21. Уравнение касательной и нормали к кривой.

22. Теорема Ролля.

23. Теорема Лагранжа.

24. Теорема Коши.

25. Правило Лопиталя.

26. Необходимые условия экстремума функции одной переменной.

27. Достаточные условия экстремума функции одной переменной

28. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции.

29. Асимптоты графика функции.

30. Общая схема исследования функции и построения графика.

31. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена.

32. .Формула Маклорена для е^х.

33. Формула Маклорена для sinx.

34. Формула Маклорена для cosx.

35. Формула Маклорена для ln(1+x).

36. Формула Маклорена для (1+x)^m.

37. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл.

38. Полный дифференциал функции двух переменных и его применение к приближённым вычислениям.

39. Производная сложной функции нескольких переменных

40. Производная неявной функции нескольких переменных.

41. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

42. Производная по направлению функций нескольких переменных.

43. Градиент функции. Связь между производной по направлению и градиентом функции.

44. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

45. Необходимое условие экстремума функций двух переменных.

46. Достаточные условия экстремума функций двух переменных.

1.Множества и элементарные операции над ними. Понятие функции одной действительной переменной. График функции. Область определения.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись  a R  означает, что элемент  а  принадлежит множеству R , то есть  а  является элементом множества R . В противном случае, когда  а  не принадлежит множеству  R , пишут  a R .   Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А. Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или  множество А  является подмножеством множества  В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В . Эта зависимость между множествами называется  включением. Для любого множества  А имеют место включения:  А  и  А  А .

Сумма ( объединение ) множеств  А и В ( пишется  А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом,  е А В  тогда и только тогда, когда либо  е А ,  либо  е В .  

 

Произведение ( пересечение ) множеств  А и В ( пишется  А В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом,  е А В  тогда и только тогда, когда   е А  и  е В .

Разность множеств А и В ( пишется  А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Симметричная разность множеств А и В ( пишется  А \ В  ) есть множество: А \ В  = ( А – В ) ( В – А ). 

 Свойства операций над множествами:

2.Числовая последовательность и её предел.

Последовательности.  Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1,  2,  3, … ,  n –1,  n, … .

Если заменить каждое натуральное число  n  в этом ряду некоторым числом  u_n , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

u₁ , u₂ , u₃ ,…,u_{n  1} , u_n , кратко обозначаемый { u_n }    и называемый числовой последовательностью. Величина  u_n называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой  u_n = f ( n ), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру  n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

П р и м е р ы    числовых последовательностей:

1,  2,  3,  4,  5, …   ряд натуральных чисел ;

2,  4,  6,  8,  10, …  ряд чётных чисел;

1.4,  1.41,  1.414,  1.4142, ..числовая последовательность приближённых значений

                                               с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность писана полностью.Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу  a  при увеличении порядкового номера  n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Это определение означает, что  a  есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к  a  при возрастании  n. Геометрически это значит, что для любого  > 0  можно найти такое число N,  что начиная с  n > N  все члены последовательности расположены внутри интервала ( a a ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | u_n  | Mдля всех  n . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства).  Основные свойства пределов.  Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если { u_n } и { v_n }   две сходящиеся последовательности, то:

Если члены последовательностей { u_n }, { v_n }, { w_n } удовлетворяют неравенствам 

Некоторые замечательные пределы.