25. Уравнение Эйлера для простейшего функционала. Условие Лежандра. Пример решения уравнения Эйлера.

Уравнение Эйлера.

Пусть задан функционал:

Необходимо среди всех кривых класса С’, проходящих через заданные точки:

Y(a)=A Y(b)=B

найти функцию, доставляющую экстремум функционалу.

Будем обозначать производные F по y - ; F по x -

Тогда: = =0

Мы получили главную линейную часть функционала, которая называется вариацией функционала, которая при любых δY(x) должна оставаться = 0.

U V'

∫UV'dx=UV-∫VU'dx

U=F_y’(x;y;y') => U'=

V'=δy' => V= δy

=

ΔI=

Существует основная лемма вариационного исчисления – лемма Лагранжа:

если Ф(x) – непрерывная функция, а h(x) – гладкая непрерывная функция, для которой справедливо h(a)=0 и h(b)=0 и , то Ф(x)=0

Тогда: ΔI= , где h(x)= δy,

то – =0 - уравнение Эйлера

Условие Лежандра:

Для того, чтобы Y(x) доставляло экстремум функционалу необходимо, чтобы кроме уравнения Эйлера выполнялось условие Лежандра, которое, кроме того, различает max и min:

F_y’y’>0 → min F_y’y’<0 → max

Пример: найти Y(x), доставляющую экстремум функционалу и проходящую через точки:

Y(0)=0 Y(1)=1

F_y = 12

F_y' = 2y'

12x-2y''=0

y''=6x => y' = 3x² + C₁ => y = x³ + C₁x + C₂

y(0)=C₂=0

y(1)=1+C₁=1 => C₁=0 => y = x³

F_y’y’ = 2 > 0 => min

26. Уравнение Эйлера и условие Лежандра для функционала, зависящего от n функций и их первых производных.

Составляется n уравнений Эйлера:

Из которых находим n функций. В этом случае условие Лежандра:

27. Уравнение Эйлера и условие Лежандра для функционала, зависящего от функции и от n ее производных. Пример.

I [y(x)] =

Y(a)=A_{1 ,} Y'(a)=A_{2 ,............} Y^(n-1) (a)=A_n

Y(b)=B_{1 ,} Y'(b)=B_{2 ,............} Y^(n-1) (b)=B_n

В этом случае функция, доставляющая экстремум функционалу удовлетворяет условию Эйлера-Пуассона:

Условие Лежандра:

Fyⁿyⁿ > 0 → min

Fyⁿyⁿ < 0 → max.

Пример: Найти функцию, доставляющую экстремум функционалу:

I [y(x)] =

и проходящую через точки:

Y(0)=A Y'(0)=A₁

Y(2)=B Y'(2)= B₁

F_y=0 ; F_y’=0 ;

F_y’’=2y'' ;

y⁽⁴⁾=0 ; y'''=C₁ ; y'' =C₁x+C₂ ; y' =0,5C₁x²+C₂x+C₃ ;

y =

Далее подставляем Y(0), Y’(0), Y(2), Y’(2).

F_y’’y” = 2 > 0 → min.

28-го вопроса в лекциях нету!!!

29. Решение экстремальной задачи с подвижными границами. Условие трансверсальности. Пример.

J [y(x)] = y(a) = A

В этом случае кривая также должна удовлетворять уравнению Эйлера:

Для нахождения С₁ и С₂ необх. 2 условия. 1-ое: y(a) = A, 2-ое: условие трансверсальности, к-ое для каждого случая имеет вид:

Если и точка А перемещается, то:

Пусть одна граничная точка известна, а вторая скользит не по вертикали, а по какой-то кривой:

В этом случае кривая, доставляющая экстремум также должна удовлетворять уравнению Эйлера и условию трансверсальности:

y(x₀) = φ(x₀)

Пример: найти экстремум функционала J[y(x)] = , y(0) = 0, φ = 4 – 2x

Решение: - уравнение Эйлера

F_y = 0, F_y’ = _, , примем

получим (y’)² = C (1+(y’)²), примем C =C₂ →

(y’)²(1-C₂) = C₂ , → y’= =C, → y = Cx + C₃ C₃ = 0 →

, т.е. С = 1/2, т,е

y = 1/2x, подставляем условие y(x₀) = φ(x₀) , получаем

т.е. x₀ =1,6