18. Линейное программирование. Примеры постановок задач линейного программирования.

Это математическая теория, изучающая методы решения линейных экспериментальных задач. Т.е. задачи такого вида:

требуется найти экстремум функции

F=C₁ U₁+C₂ U₂+…+C_n U_n – min и max

при ограничения такого вида:

m уравнений

m^’-m н9еравенств

Пример задачи об использовании сырья.

Необходимо изготовить продукцию 2-х типов. Из 4-х видов сырья: S₁, S₂, S₃, S₄

Виды сырья	Продукт		Наличие на складе
	П1	П2
S1	2	3	19
S2	2	1	13
S3	-	3	15
S4	3	-	18
Доход	7	5

U₁ – количество П₁

U₁ – количество П₂

Суммарный доход F=7 U₁+5 U₂ – её надо максимизировать

при этом

Общие задачи линейного программирования:

Необходимо найти управление, представляющее экстремум целевой функции(линейной формы) при ограничениях, которые были записаны

Найти среди неотрицательных решении Q_max при которых соблюдается все ограничения

Удобно всё многообразие задач линейного программирования сводить к одной форме, называемой канонической, т.е. когда все уравнения связи будут только типа равенства

m<n – степень свободы или одно из условий решения задач.

n – число переменных,

m – число управлений.

n-m – число степеней свободы.

Задачи с любыми типами связи можно свести к каноническим. Для этого вводиться переменные

Раньше было 2 управления, теперь 6. Но теперь 6 степеней свободы, т.к. 4 уравнения типа равенства.

Переписывания уравнения относительно базиса.

(1)

А набор значений от U₁ до U₆, удовлетворяющих уравнению (1) называются решением . А решение, максимизирующее целевую функцию это оптимальное решение. Рассмотрим геометрическую интерпретацию решения этой задачи. Построим область допустимых управлении(все значения )

Q=70 Точка а соответствует оптимальному решению, то есть оптимальное решение находится в вершинах многоугольной области.

19. Свойства оптимальных решений в задачах линейного программирования.

Основные свойства задач ЛП:

1. Т.к. уравнения связи линейны, Ω – всегда выпуклый многоугольник. Линия постоянного значения критерия – прямая линия. Решение лежит в одной из вершин. Может быть случай, когда линия оптимального значения совпадает→множество решений, в том числе и вершины.

2. В вершинах многогранника ровно столько переменных обращается в 0, сколько степени свободы мы имеем

3. Переменная, обращается в 0 – свободные, иначе – базисные. Сами вершины – это базисы.

20. Симплекс-метод.

СМ – метод оптимально направленного переборе вершин и заключается в последовательном переходе от одной вершины к другой, в которой значения критерия лучше.

Геометрический метод означает:

На первом шаге выбирают любую вершину многогранника, то есть выбирают решение, которое называют опорное или базисное. Анализируется значение переменной и значение в этой вершине и находят значение в другой, в которой значение лучше.

СМ дает оптимальную последовательность шагов, приводящих к оптимальному решению, если оно существует.

СМ в общем виде:

(каноническая форма, относительно базиса)

базис: (0..0, b₁..b_n); a=c₀

Рассмотрим целевую функцию. Анализируя ЦФ, может быть 2 случая:

1. если все при поиске max, базис, который мы выбираем явл. оптим.

2. пусть некоторые коэффициенты положительны напр.

В целевой функции осталось только , остальные равны 0

3. если все коэффициенты > 0, то при любом и т.д. не станут отрицательны, решение не существует, так как область не замкнута

Если выбрать , то U_i+1 можно увеличить на . Если таких несколько, то берем min.

Из (3) выражаем U_j и подставляем во все другие уравнения и в Целецую Функцию(ЦФ).

Перешли в новый базис.

(0…0,b,0,b_m)

Смотрим в ЦФ: коэффициент >0 при поиске min

<0 при поиске max,

то нашли оптимальный базис

Т.о. порядок вычислений по СМ следующий:

1) приводим систему ограничений к виду, разрешенному от какого-либо исходного базиса;

2) выражаем линейную форму ЦФ через базисные независимые U если в полученных выражениях все коэффициенты при небазисных коэффициентах отрицательные при поиске max, или >0 при поиске min, то задача решена;

3) если есть коэффициенты >0 при max,<0 при min, то берем любое из них (C_j), который стоит перед U_j и рассматриваем столбец коэффициентов при U_j.

Если все коэффициенты этого столбца >0, то Q= , задача решения не имеет;

4)пусть в столбце при U_j имеется отрицательные числа. Для каждого из таких чисел находим отношение и выбираем среди них наименьшее.

Например ;

5. переходим к новому базису, исключая из старого базиса величину U_n+i и вводя вместо нее U_j . Для этой цели уравнение, содержание U_n+i разрешением относительно U_j . И полученное выражение подставляем во все ограничения и в ЦФ. И переходим к п.2.