1. Постановка задачи оптимального управления. Критерии оптимальности.

Целенаправленная деятельность, заключенная в получении наилучшего в определенном смысле результатов при соотв. условиях, есть оптимизация.

Целевая функция или критерий оптимальности – математическая зависимость, которая отражает заинтересованность в работе исследований системы или объекта и является количественной мерой заинтересованности.

При правильной постановке задачи должны выполняться следующие условия:

1. нахождение оптимального значения только одного критерия;

2. наличие степеней свободы (область варьирования параметров).

При правильной постановке задачи оптимизации формулируется 1-ый критерий оптимальности, выделяющий (варьируемый параметр) плоскости управляемых воздействий.

2. Экономическая оценка эффективности процессов.

Наибольшее общей постановкой оптимальности задачи служит выражение критерии оптимальности в виде экономической оценки. Экономический критерий оптимальности в общем случае можно записать след-м образом: Q=Q(B,Ф,Э,К) ,

В – производительность,

Ф – объем капитальных вложений,

Э – эксплуатационные затраты,

К – качественный показатель.

Конкретный вид функции определяется постановкой задачи оптимальности.

3. Постановка задачи оптимального управления в статике.

Оптимальное управление в статике характеризуется тем, что находятся значения управления, при которых целевая функци в установившихся режимах принимает max или min значение, т.е. переходные процессы не учитываются. Мат. модель есть совокупность алгебраических уравнений. Постановка задачи в статике звучит след-м образом: найти оптимальное управление воздействия из области допустимых управлений, доставляющие целевую функцию в max или min значение.

,

4. Постановка задачи оптимального управления в динамике.

Мат. модель такого процесса – дифф. уравнение.

Оптимальное управление в динамике ставится след-м образом:

Задана система ур-й (*), заданы нач. и конеч. точки пространства , и требуется так подобрать управления, чтобы система перешла из нач. в конеч. точку и при этом критерий оптимальности принял экстрим. значения. В этом случае критерий оптимальности есть функционал, т.к. управления – функции.

5. Исследование одномерной целевой функции на экстремум методом классического анализа.

Метод применяется в случаях, когда есть аналитическое выражение целевой функции, причем эта функция дифференцируема и имеет непрерывные производные. Сущность метода состоит, что целевую функцию дифференцируют по управлению и эту производную используют для записи необходимого условия.

Необходимое условие экстремума: dQ/dU =0 (*) .

Из этого условия определяют точку подозреваемого экстремума. Далее нужно определить достаточность экстремума. Достаточность экстремума определяется наиболее распространенно по наивысшему производному: если порядок производного впервые не обращающегося в ноль в точке подозреваемого экстремума, для которого выполняется условие (*), нечетный, то в этой точке нет ни min, ни max. Если порядок четный, то в данной точке есть экстремум. Причем:

минимум: d²ⁿQ\dU²ⁿ>0

максимум:d²ⁿQ\dU²ⁿ<0