Свойства бинарных отношений

Пусть  задано на множестве X,   Х²

Рефлексивность:  х  Х х  х .

Антирефлексивность: х  Х х  х.

Нерефлексивность:  х  Х (x, x)  .

Симметричность:  х, y  Х х  y => y  х.

Антисимметричность:  х, y  Х х  y, y  х x = y.

Транзитивность:  х, y, z  Х х  y, y  z => x  z.

Отношение порядка – антисимметрично, транзитивно.

Отношение нестрого порядка ( ) - рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Отношение строгого порядка ( ) - антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

В отношениях полного порядка все элементы сравнимы между собой, а в отношениях частичного порядка не все элементы сравнимы между собой.

Отношение эквивалентности (  ) - рефлексивно, симметрично, транзитивно .

Класс эквивалентности для х : [ x ] = { y Х | x  y }

Обратное отношение получается путём перестановки значений в парах исходного отношения.

Композиция отношений  и  - отношение, состоящее из пар  ○  = {(x, z)| х  у, y  z }

Например:

Отношения  и  заданы на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}.

 = {(1,4), (2,5), (3,6), (4,1), (6,3)},

 = {(1,1), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,6)}.

Область определения D_ = {1, 2, 3, 4, 6}.

Область значений J _ = {1, 3, 4, 5, 6}.

Обратное отношение ^-1 = {(4,1), (5,2), (6,3), (1,4), (3,6)}.

Отношение  - антирефлексивно, не симметрично, не транзитивно.

Область определения D_ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Область значений J _ = {1, 3, 4, 5, 6}.

Отношение  - не рефлексивно, антисимметрично, не транзитивно.

Композиция  ○  = {(1,5), (2,6), (3,6), (4,1), (6,4)}.

Например:

Отношение = { (x, y) | сравнение по модулю m, x,y  N }.

Отношение сравнения по модулю m на множестве натуральных чисел: x = y mod m, что означает x и y имеют одинаковый остаток при делении на m (классы вычетов по модулю m).

Отрезок натурального ряда N₄={1,2,3,4}.

Отношение сравнения по модулю 2 на N₄ :

 = { (1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2) ,(4,4)}.

Область определения D_ = {1, 2, 3, 4}.

Область значений J _ = {1, 2, 3, 4}.

Отношение  - рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Отношение  - отношение эквивалентности.

Классы эквивалентности: [ 1 ]={ 1,3 }=[ 3 ]

[ 2 ]={ 2,4 }=[ 4 ].

Например:

Отношения  и  заданы на множестве N_{4 .}

 ={ (1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4) }

={ (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) }.

Область определения D_ = { 1, 2, 3 }.

Область значений J _ = { 2, 3, 4 }.

Отношение  - антирефлексивно,антисимметрично,транзитивно.

Отношение  - отношение строгого порядка.

Область определения D_ = { 1, 2, 3 ,4 }.

Область значений J _ = { 1, 2, 3, 4 }.

Отношение  - рефлексивно, симметрично, антисимметрично, транзитивно.

Отношение  - отношение нестрогого частичного порядка.

Отношение  - отношение эквивалентности.

Классы эквивалентности : [ 1 ]={ 1 }

[ 2 ]={ 2 }

[ 3 ]={ 3 }

[ 4 ]={ 4 }.