Распределения объектов по ячейкам
Даны
объектов (предметов) и
ячеек (ящиков). Требуется определить
количество способов, которыми объекты
могут быть распределены по ячейкам. При
этом в зависимости от условия задачи
необходимо учитывать следующие варианты:
объекты могут быть одинаковыми или различными;
ячейки могут быть одинаковыми или различными;
возможно ограничение на количество объектов в ячейках;
возможен учёт порядка объектов в ячейках или порядка ячеек.
Прежде чем рассмотреть решения различных вариантов постановки
задачи распределения объектов по ячейкам, введём условные обозначения:
0 0 0 …0 – объекты (m штук);
/ – перегородка, отделяющая одну ячейку от другой (всего перегородок k-1 штук).
Приведём несколько примеров распределения объектов по ячейкам с учётом введённых обозначений:
- все объекты попали в последнюю ячейку;
- три объекта в первой ячейке, все
остальные в последней.
Перейдём к обзору методов решения основных задач распределения объектов по ячейкам.
Распределение одинаковых объектов
Во всех следующих задачах (кроме пункта
5.4) предполагается, что ячейки различны
и различают их по номерам:
.
Вместимость ячеек неограниченна, ячейки не могут быть пустыми
Ввиду
условных обозначений, данная задача
может быть переформулирована следующим
образом: необходимо в
интервале между объектами разместить
перегородку так, чтобы две перегородки
не стояли рядом. Это можно сделать
способами (до первой перегородки – в
первую ячейку, между первой и второй –
во вторую, и т.д.).
Вместимость ячеек неограниченна, ячейки могут быть пустыми
При данной формулировке задачи перегородки (т.е./) могут стоять произвольным образом, т.е. возможны следующие варианты:
/ / 0 0 / 0…0 – два объекта в третьей ячейке, все остальные – в последней;
…………….
/…/ 0…0 – все объекты в последней ячейке.
Следовательно,
из имеющихся
мест необходимо выбрать места для
перегородки. Количество способов,
которыми это можно сделать равно
Получаем – сочетания с повторениями.
Возможен другой способ рассуждений. Любому объекту ставится в соответствие номер ячейки, в которую он попал. Таких номеров . Нужно набрать сочетания из номеров по (сочетания – так как объекты одинаковы, имеет значение число объектов, получивших номер 1, номер 2 и т.д., а не их порядок). Результатом данного способа также являются сочетания с повторениями.
Вместимость каждой ячейки не менее, чем l объектов
Сначала в каждую ячейку помещаем по l объектов, а затем оставшиеся (m-k*l) объектов распределяем без ограничения на число объектов в ячейке (как описано в случае 1.2). Получаем количество способов распределения:
.
Распределение различных объектов по ячейкам без учёта порядка объектов в ячейке
Вместимость ячеек неограниченна, ячейки могут быть пустыми
Любой объект может попасть в любую ячейку. Т.е. первый объект можно поместить в любую из k ячеек, второй (независимо от первого) также поместить в любую из k ячеек и т.д. По правилу произведения результат будет следующим:
