1. Задача оптимизации. Постановка задач математического и линейного программирования. Примеры задач оптимизации с экономическим содержанием.

Задачей оптимизации называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие и заданные набором равенств и неравенств.

Постановка задачи оптимизации

X – множество

f(x) – функция на X, x € X

f (x) opt max (min)

x € X – задача оптимизации

1. Если x € Rⁿ, заданное системой неравенств:

q₁(x)≥0

q_m(x)≥0

т о задача f(x) opt, x € X называется задачей математического программирования.

2) Если f, q₁,…., q_m – линейная функция на X, то задача называется задачей линейного программирования.

3) Если X=(x₁,…., x_n) € Rⁿ

x_i € Z, то задача называется задачей целочисленного программирования.

Примеры задач:

• задача оптимизации налогообложения (Пусть R(q) - доход (выручка) от продажи, а C(q) - затраты на выпуск продукта в зависимости от количества q . Найти величину дополнительного налога t на каждую единицу продукта, чтобы налог T = tq от всей реализуемой продукции был максимальным, и весь налоговый сбор)

• задача об оптимальном производственном плане (максимальный объем производства при данном уровне издержек или минимум издержек при данном объеме производства)

• Транспортная задача - классическая задача линейного программирования. К ней сводятся многие оптимизационные задачи (На m складах находится груз, который нужно развезти n потребителям. Пусть ai (i = 1, ..., n) — количество груза на i-ом складе, а bj (j = 1, ..., m) — потребность в грузе j-го потребителя, cij — стоимость перевозки единицы груза с i-го склада j-му потребителю. Требуется минимизировать стоимость перевозок)

• Задачи о распределении ресурсов - общий смысл таких задач — распределить ограниченный ресурс между потребителями оптимальным образом. Рассмотрим простейший пример - задачу о режиме работы энергосистемы. Пусть m электростанций питают одну нагрузку мощности p. Обозначим через xj активную мощность, генерируемую j-ой электростанцией. Техническими условиями определяются возможный минимум mj и максимум Mj вырабатываемой j-ой электростанцией мощности. Допустим затраты на генерацию мощности x на j-ой электростанции равны ej(x). Требуется сгенерировать требуемую мощность p при минимальных затратах.

2. Производственная функция. Однофакторные и многофакторные производственные функции. Примеры производственных функций.

Производственная функция - экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количество продукции) и факторами производства, (затраты ресурсов, уровень технологий и др.).

Пусть X₁,X₂,…,X_n – ресурсы; Q = Q(X₁,….,X_n) – объем продукции, тогда Q – производственная функция, если n = 1 – однофакторная модель

если n > 1 – многофакторная модель

3. Виды производственных функций. Изокванты. Приведите пример производственной функции и ее изоквант.

Виды производственных функций:

1. линейная (Q = a₀+a₁x₁+…+a_n x_n при a_i>0)

2. мультипликативная (Q = a₀x1^a1x2^a2…xn^an при a_i>0)

Частный случай: Q(K,L)=aK^βL^β-1, при a_i>0, 0<β<1, где K – начальный капитал, L - затраты труда.

Изокванта - кривая, демонстрирующая различные варианты комбинаций факторов производства, которые могут быть использованы для выпуска данного объема продукта. Это линия уровня двухфакторной производственной функции. Изоклина – линия, на которой MRS = const.