19) Производная показательной функции.

Теорема 1. Функция е^х дифференцируема в каждой точке области определения, и(е^х)' = е^х. Доказательство.  Найдем сначала приращение функции у = е^х в точке x₀:Δy = e ^x₀^+Δx — е ^x₀ = е ^x₀ • е ^Δx — е ^x₀ = е ^x₀ (е^{Δ x} — 1).

Пользуясь условием (1), находим:  при Δx → 0

По определению производной отсюда следует, что у' = e^x т. е. (е^x)’= е^х при любом х.

Теорема 2. Показательная функция а^х дифференцируема в каждой точке области определения, и(а^x)'=а^хlп а.

Доказательство. Из формулы (3) по теореме о производной сложной функции получаем, что показательная функция дифференцируема в каждой точке и (a^x)’= (e^{x ln a})’= e^{x ln a}ln a = a^x ln a (5)Следствие. Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения, т. е. а^x →а^x₀ при х →х₀.

20) Логарифмическое дифференцированиеЕсли требуется найти из уравнения , то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения

;б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х,

в) заменить его выражением через х

Рассмотрим показательно степенную функцию y = u(x)^v(x)

Теорема . Пусть функции u = u(x), v = v(x) дифференцируемы, тогда функция y = u(x)^v(x) дифференцируема и

Доказательство

Так как ln y = v(x) ln u(x), то, продифференцировав это равенство, получаем

Теорема доказана.

21) Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х. 

Выясним геометрический смысл дифференциала.Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке  АМ =∆х, |AM₁|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

1. Дифференциал постоянной равен нулю: dc = 0, с = const.

2. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых: d(u+v)=du + dv

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны d(u+c) = du (c= const).

3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой: d(uv) = udv + vdu.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала d(cu) = cdu (с = const).

4. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой

5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Инвариантность первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x₀) = f'(x₀)dx.     (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t₀)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.