Общая и групповые средние

Средняя величина, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней. Она дополняется средними, если совокупность разделить на отдельные группы. Такие средние величины называются групповыми средними.

Виды средних величин

• Степенные

  • Простые (невзвешенные)- по списку результатов индивидуальных наблюдений

  • Взвешенные - по сгруппированным данным

• Структурные ( применяются для изучения структуры вариационного ряда)

  • Мода

  • Медиана

Если совокупность разбита на несколько групп и в каждой группе рассчитана своя средняя арифметическая величина , общая средняя для всей совокупности составит:

, где - среднее значение признака в i-й группе; - объем i-й группы.

Степенные средние величины:

Общий вид расчета степенной простой величины	Общий вид расчета степенной взвешенной величины
m – вес, x – значение признака, n – число единиц совокупности, z – вид степенной величины, i – номер элемента совокупности

Многие виды средних могут быть получены из формулы степенной средней. Подставив в её формулу значение Z (показатель степени), определяемое объектом и задачами исследования, возможно получить тот или иной вид средней: арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую и т.д.

Виды степенных средних величин

Средняя гармоническая, z = -1; Средняя геометрическая, z = 0; Средняя арифметическая, z = 1;

Средняя квадратическая, z = 2; Средняя кубическая, z = 3.

Вид средней	простые	взвешенные
арифметическая Z=1
Гармоническая Z=-1
Геометрическая Z=0
Квадратическая Z=2
Кубическая Z=3

Здесь - значения изучаемого признака, n - объем совокупности, - вес, Z показатель степени,

Свойства средней арифметической

1. сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю;

2. если от каждого значения признака вычесть или к каждому его значению прибавить одно и то же число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится на то же самое число;

3. если каждое значение признака разделить или умножить на одно и то же число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится во столько же раз;

4. если значения признака-веса разделить или умножить на одно и то же число, то величина средней не изменится;

5. сумма квадратов отклонений значений признака от средней меньше суммы квадратов отклонений от любой произвольной величины;

6. произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариантов на частоты.