5. Значащие, верные и сомнительные цифры приближенного значения числа

В книге В.М. Брадиса «Средства и способы элементарных вычислений» дало следующее определение значащих цифр: «Значащими цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля цифры, и нулей, стоящих в конце числа, если они стоят взамен неизвестных и отброшенных цифр».

_{. . . .}

Пример 1 а) 3564 – четыре значащих цифры.

_{. . .}

0,256 – три значащих цифры.

_{. . .}

0,0302 – три значащих цифры.

1520 - четыре, если число записано с точностью до

единиц и три, если число записано с точностью до

десятков.

б) электрохимический эквивалент водорода 0,01045 мг/Кл. В этом числе четыре значащие цифры;

в) теплота сгорания дров 8300 кДж/кг. Если это число задано с точностью до сотен, то два нуля незначащие (поставлены взамен неизвестных цифр);

г) удельное сопротивление цинка 0,060 . Это число задано с точностью до тысячных, поэтому последний нуль значащий; в числе две значащие цифры.

Отметим, что нуль, записанный в конце десятичной дроби, - всегда значащая цифра (иначе этот нуль просто не писали бы). Так, в числе

20,40 м, полученном в результате измерения с точностью до сантиметров, четыре значащие цифры. При этом важно обратить внимание на то, что равенство 20,40 м = 20,4 м, безусловно, правильное

для точных значений чисел, не является правильным для приближенных значений. Дело в том, что число 20,4 задано с точностью до десятых, а число 20,40 – с точностью до сотых.

Приведенное равенство является примером характерной ошибки студентов, склонных в ряде случаев применять известные им свойства точных значений чисел к приближенным значениям.

Рассмотрим целое приближенное значение с нулями справа. При определении количества значащих цифр этот случай наиболее сложный, так как нуль в конце целого числа может быть в одних случаях значащей цифрой, в других – незначащей.

Например, число 3500, заданное с точностью до единиц, имеет четыре значащие цифры. Если же то же число задано с точностью до сотен, то нули справа не будут значащими цифрами, и число 3500 будет иметь всего две значащие цифры.

Более того, возможен и такой случай, когда в одном и том же целом числе некоторые нули справа являются значащими, а некоторые – нет. Например, в значении скорости света с = 300 000 км/с первые три цифры (3,0,0) значащие; последние три (нули) – незначащие. Дело в том, что более точно скорость света равна 299793 км/с, что после округления до тысяч 299793 300 000 км/с дает погрешность, приближенно равную 200 км/с.

Как же записывать незначащие нули? Незначащие нули в конце целого приближенного числа можно отмечать знаком: ~. Например, в числе 800 первый нуль значащий, второй – незначащий. (Применение указанного условного обозначения (~) для незначащих нулей не является общепринятым, но введение его в некоторых случаях целесообразно, и мы им будем пользоваться на аудиторных занятиях).

Можно вообще не записывать незначащие нули. Для этого существует два способа:

1. Переход к кратным единицам величин

Пример: вместо 92800 г. будем писать 92,8 кг.

вместо 300 000 км/с = 300 тыс. км/с

2. Замена незначащих нулей множителем 10ⁿ, где n – показатель степени, который может быть положительным и отрицательным.

Пример: если число 1570 000 имеет четыре значащих цифры, то можно записывать так:

1570 000= , или

Запомните:

Форма записи, когда запятая поставлена после первой слева значащей цифры, называется стандартной и является предпочтительной.

Пример 2 Приведем ряд примеров физических величин, записанных в стандартной форме:

№n/n	Физические величины	Стандартная форма записи
1.	Плотность воздуха	1,29 г/см3
2.	Скорость света в вакууме	3,00 км/с
3.	Масса Земли	5,98 кг
4.	Постоянная Фарадея	9,65 Кл/моль
5.	Постоянная Авогадро	6,02 моль-1
6.	Заряд электрона	1,6 Кл

Замечание: Рассмотренные способы позволяют, как правило, отказаться от записи незначащих нулей в конце целых приближенных чисел; если же нули сохранены, следует считать их значимыми.

Рассмотрим классификацию значащих цифр приближенного значения числа, играющую важную роль в приближенных вычислениях.

Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает единицы последнего разряда, то все значащие цифры приближенного числа называют верными.

Пример 3 а) плотность ртути равна 135955 г/см³. Округлим это значение до сотых: 13,60 г/см³. Все цифры числа 13,60 верные, т.к. абсолютная погрешность округления равные 13,60 – 13,5955 = 0,0045, что меньше 0,01;

б) при измерении длины стержня линейкой с ценой деления 1 мм абсолютная погрешность не превышает 0,5 мм. Поэтому в результате измерения (56±0,5мм) обе цифры верные;

в) длина рулона обоев 10,5±0,05 м – все цифры (1,0,5) – верные.

г) в числе =27,4±0,08 все цифры верные т.к. абсолютная погрешность 0,08<0,1.

Иногда при измерениях и, особенно при вычислениях, результат может иметь погрешность, превышающую единицу последнего разряда. Например, при измерении объема жидкости мензуркой с ценой деления 10 мл получен результат 120±5 мл. Цифра 0 в числе 120 не является верной, так как абсолютная погрешность больше единицы последнего разряда. В подобных случаях последняя цифра приближенного числа сомнительная.

Если в приближенном числе все значащие цифры, кроме последней, являются верными, но абсолютная погрешность числа превышает единицу последнего разряда, то цифру этого разряда называют сомнительной.

Пример 4 x=75,3±0,2

Здесь цифры 7 и 5 – верные, цифра 3 – сомнительная, т.к. h > 0,1

1

З

А

П

О

М

Н

И

Т

Е

.Рекомендуется в записи приближенных чисел сохранять только верные цифры.

1. Если в десятичной дроби последние верные цифры – нули, то их оставляют в записи числа.

Например, если , то правильная запись числа есть 0,230.

2. Если в целом числе последние нули являются сомнительными цифрами, то их исключают из записи числа.

Например, если , то правильная запись числа есть или .

3. В записи числа последняя цифра десятичной записи числа указывает на точность приближения, т.е. граница абсолютной погрешности не превосходит единицы последнего разряда.

Например, запись числа означает, что

Мы будем пользоваться правилом записи приближенных значений чисел, предложенным В.М. Брадисом: в приближенных значениях чисел, полученных в результате измерения или вычисления, сохраняют все верные цифры и, возможно, одну сомнительную, если известно, что малые значения погрешности более вероятны, чем большие.

Выполните задания:

1. В таблице приведены плотности некоторых веществ. Сколько значащих цифр в каждом числе?

№ n/n	Вещество	Плотность, г/см3
1	Вода	1,00
2	Спирт	0,80
3	Молоко	1,03
4	Ртуть	13,60
5	Глицерин	1,26

2. В наборе имеются гири: 500 г., 200 г., 100 г. и 50 г. Какие нули в этих числах значащие или незначащие?

3. Не изменяя точности чисел, запишите:

а) 170 мм в сантиметрах;

б) 250 мл в литрах;

в) 600 В в киловольтах.

4. Округлите следующие числа:

а) до двух значащих цифр: 7,82; 7,98; 1,96; 1,00; 0,032;

0,999;

б) до трех значащих цифр: 87856; 19,995; 78,625; 0,006798; 0,1199;

в) до четырех значащих цифр: 60002480; 87,99567; 0,000678078; 0,007800456; 0,00679987.