4. Абсолютная и относительная погрешности

При работе с приближенными величинами следует:

1. оценить необходимую точность приближения при измерении;

2. выполнить действия в границах необходимой точности;

3. оценить степень точности результата.

Рассмотрим следующие примеры:

Пример 1 Пусть масса некоторого тела больше 19 г., но меньше 20 г., т.е. 19<m<20.

Значит: 19 – приближенное значение массы с недостатком.

20 – приближенное значение массы с избытком.

Границы: 19 – нижняя;

20 – верхняя.

Замечание: в качестве других границ можно выбрать числа меньше 19, но больше 20.

Зная границы значений некоторой величины, можно оценить значения другой величины, зависящей от первой.

Пример 2 Пусть 2,5<x<3,2. Найти границы:

а) 2x

б) 5x-3

в)

Решение: а) 2,5 <2x<3,2 5 –нижняя граница

5<2x<6.4 6,4 – верхняя граница

^{Н.Г. В.Г.}

б) 12,5< 5x <16 9,5 – нижняя граница

12,5-3 < 5x-3 <16-3 13 – верхняя граница

9,5 <5x -3 <13

^{Н.г. В.г.}

в) x> 0, т.к. x >2,5, то < или <

x <3,2, то < или >

Таким образом: < < или 0 ,3125 < < 0,4

^{Н.г. В.г.}

Пример 3 Пусть 0,5 < a < 1,4; 2< c < 4,1.

Найти границы (а + с) и (а – с).

Решение: 0,5 + 2 < а + с < 1,4 + 4,1 или 2,5 < а + с <5,5

^{Н.г. В.г.}

а – с = а + (-с)

!!! -2 > -с > -4,1, т.е. -4,1 < –с < -2.

0,5 – 4,1< а-с < 1,4 - 2 или -3,6< а-с <- 0,6

^{Н.г. В.г.}

Пример 4 Пусть 1,3 < x < 2,4 и 0,5 < y < 1,1

Найти границы

Решение: < xy < или 0,65 < xy < 2 ,64

^{Н.г. В.г.}

Приближенные значения величин, полученные в процессе счета, измерения или вычисления могут быть найдены с различной точностью, поэтому важно знать отклонение приближенного значения величины от ее точного значения.

Количественной характеристикой точности приближенного значения величины является погрешность приближения.

Погрешность приближения – это разность между точным (x) и приближенным (а) значениями искомой величины.

Пример 5 если число x= 4,28 заменим приближенным значением а = 4,2 (с недостатком), то допустим погрешность x- а = 0,08, а если заменим приближенным значением b = 4,3 (с избытком), то допустим погрешность x-b = -0,02.

Замечание: погрешность приближения с недостатком – положительная, а с избытком – отрицательная.

Чтобы установить, какое из приближений является лучшим, следует сравнить погрешности по модулю.

Абсолютная погрешность ( ) - модуль разности точного и приближенного значений искомой величины.

!!! Чем меньше абсолютная погрешность, тем ближе приближенное значение к точному.

Если не превосходит некоторого числа h, то h называется границей абсолютной погрешности.

Границей абсолютной погрешности называется число h, удовлетворяющее неравенству:

или , т.е. большее или равное абсолютной погрешности.

!!! Значение величины X с учетом погрешности записывается

- верхняя граница величины X;

- нижняя граница величины X.

Двойной знак означает, что отклонение приближенного числа от точного возможно в обе стороны.

Пример 6 Найти границы числа x = 10,6 ± 0,5

Решение: 10,6 – 0,5 < x < 10,6 + 0,5

10,1< x < 11,1

^{Н.г. В.г.}

В таблицах числовые значения приведены без указания погрешности, но так как эти числа округлены по основному правилу, то граница абсолютной погрешности каждого числа из таблиц равна половине единицы последнего разряда.

Пример 7 а) плотность меди равна 8,9± 0,05 г/см³;

б) теплота сгорания спирта равна 30±0,5 МДж/кг;

в)

В качестве границы абсолютной погрешности берут по возможности меньшее число.

Для упрощения терминологии, границу абсолютной погрешности иногда называют абсолютной погрешностью или просто погрешностью. В математике часто применяют выражения типа: «с точностью до 0,01», «с точностью до сантиметра» и т.п. при этом имеют в виду, что граница абсолютной погрешности соответственно равна 0,01; 1 см и т.д.

Важно:

1). Абсолютная погрешность (или граница абсолютной погрешности) показывает насколько приближенное значение отличается от точного.

2). Абсолютная погрешность не характеризует качество измерения.

3). Абсолютную погрешность применяют для сравнения точности приближенных значений величин одного порядка и одной размерности. Если приближенные значения величины существенно различны, то для сравнения их точности понятие абсолютной погрешности оказывается недостаточным.

Пример 8 Значение силы тока в одной лампочке 1±0,5 А, а в другой – 10 ± 0,5 А. Абсолютная погрешность обоих чисел одинаковы, однако совершенно очевидно, что погрешность 0,5 А при значении силы тока 1 А велика (50% измеряемой величины), для силы тока 10 А погрешность 0,5 А составляет лишь 5 %.

Для оценки качества измерения (вычисления) вводится относительная погрешность ( ).

Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины (или к модулю точного значения числа).

Относительную погрешность часто выражают в процентах:

Так как точное значение числа, а, следовательно, и абсолютная погрешность чаще всего неизвестны, на практике приходится оценивать модуль относительной погрешности:

ε

Можно взять ε . Это число называется границей относительной погрешности.

Запомните:

- абсолютная погрешность; h – граница абсолютной погрешности;

- относительная погрешность; ε - граница относительной погрешности; ε % ε

Пример 9 Сравнить качества измерений толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что d = 2±0,5; H=100±0,5.

Решение: Для сравнения качества измерений найдем относительную погрешность каждого измерения:

%; %

Итак, толщина книги измерена с относительной

погрешностью до 25%, а высота стола - до 0,5%. Качество измерений высоты стола намного лучше качества измерения толщины книги.

Пример 10 В лабораторной работе по определению ускорения свободного падения студент получил результат g = 1005 см/с². Сравним это число с табличным:

Таким образом, относительная погрешность значения ускорения свободного падения равна 2,4%.

Пример 11 Пусть Вычислить границу относительной погрешности.

Дано: h=0,3

Найти: ε

Решение: ε %; ε %.

Пример 12 Установите, какое из приближений точнее:

или 0,11

Дано: , 2,14

, = 0,11

Найти: .

Решение: …, …, h=0,003, тогда или 0,14%

…, …, h=0,001 тогда

или 0,9%

Итак: 0,14%<0,9%

<

Ответ: Первое приближение точнее.

Пример 13 Найти верхнюю и нижнюю границы приближенного числа 23,54, если граница относительной погрешности составляет 15%.

Дано: ; ε = 15%=0,15

Найти: Н.г. и В.г.

Решение: ε ε

; < x <

Н.г.: 23,54-3,531=20,009

В.г.: 23,54+3,531=27,071

20,009 < x < 27,071

^{Н.г. В.г.}

Выполните задания:

1. Округлите число 73,1729 до тысячных, сотых, десятых, единиц, десятков, сотен.

2. Найдите абсолютную погрешность приближенного равенства 0,27.

3. Округлите число до единиц и найдите абсолютную и относительную погрешность округления: а) 10,59; б) 0,892.

4. Число 1376 округлено до 1400. Найдите абсолютную и относительную погрешности округления.

5. Табличное значение плотности золота равно 19,3 г/см³. Найдите абсолютную и относительную погрешности этого значения.

6. Брусок имеет размеры 10*20*40 мм. Абсолютная погрешность каждого размера равна 0,5 мм.

Какова относительная погрешность каждого размера?

7. Найдите относительную погрешность приближения:

а) числа числом 0,33;

б) числа числом 0,14.

8. Вычислите границу относительной погрешности приближенных чисел:

а) 25,132±0,00052

б) 0,087±0,04

в) 5,7±0,1.

9. Скорость света в вакууме равна 299792,5±0,4 км/с, а скорость звука в воздухе – 331,63±0,04 м/с. Что измерено с большей точностью?

10. Длина отрезка при измерении с точностью до десятых дециметра равна 1,8 дм, при измерении с точностью до миллиметра – 180 мм. Во сколько раз второе измерение точнее первого?

11. Приближенное значение массы Земли равно (5,98±0,01) кг. Масса пули охотничьего ружья равна (9±1) г. Какое измерение является более точным?

12. Установите, какое равенство точнее:

а) или

б) или

в) или

13. Найдите нижнюю и верхнюю границы числа, если приближенное значение и относительная погрешность соответственно равны:

а) 2,45 и 7%

б) 54 и 3%

в) 0,4 и 25%