1. Системи числення. Переведення чисел із однієї системи числення в іншу.
Системою числення називають систему прийомів і правил, що дають змогу встановлювати взаємно однозначну відповідність між будь-яким числом і його зображенням у вигляді сукупності скінченного числа символів. Залежно від способу зображення чисел за допомогою цифр системи числення поділяють на позиційні і непозиційні.
У непозиційних системах будь-яке число визначають як деяку функцію від числових значень сукупності цифр, що зображують це число (приклад — римська система числення). В електронних цифрових пристроях застосовують позиційні системи числення. Основа q позиційної системи числення — це кількість знаків або символів, використовуваних у даній системі для зображення числа. На практиці використаються тільки системи числення з основами 2, 8, 10 і 16.
Для переведення числа з однієї системи числення можна застосувати один з наступних способів:
порозрядне переведення числа у десяткову систему числення, після чого провести переведення у потрібну систему числення;
якщо початкова та кінцева системи числення зв'язані між собою, а саме: (нехай початкова система числення - А, кінцева - В) В = A в степені m (або А = В в степені m), де m - натуральне число, тоді для переведення числа з однієї системи числення в іншу потрібно поділити число на частини і кожну частину перевести за допомогою таблиці відповідностей, яка повинна містини рівно MAX(А, В) елементів.
Цілі числа: ділення певного десяткового числа на q. Остача дає перетворене число, що читається в напрямі стрілки. Дробові числа: Повторне множення певного десяткового числа на q. Розряд перед комою дає розряд перетвореного числа. При подальшому множенні використовується лише дробова частина проміжного результату.
99910=1111100111,010112
0,34 • 2 = переноситься 0, 0,68 • 2 = п. 1, (1,36) 0,36 • 2 = 0, 0,72 • 2 = 1 (1,44), 0,44 • 2 = 0, 0,88 • 2 = 1 (1,76), 0,76 • 2 = переноситься 1 (1,52). Переривання 0,34(10) = 0,0101011(2)
101102=10 110=268, 10111002=101 1100=5C8
4728=100 111 010=1001110102, B516=1011 0101=101101012
2. Прямий, обернений та додатковий коди. Виконання операції складання (віднімання) в двійковій системі числення.
Двійкова арифметика
Арифметичні дії над двійковими числами виконують відповідно до наведених нижче виразів.
Два багаторозрядних двійкових числа додають розрядами з урахуванням одиниць переповнення від попередніх розрядів, наприклад:
Множення є багаторазовим додаванням проміжних сум із зсуненням, наприклад:
Ділення складається з операцій віднімання, що повторюються, наприклад
Форми подання чисел
З метою спрощення схем віднімання в ЕОМ замінюється додаванням спеціально побудованих кодів чисел. Застосовують такі коди чисел: прямий, обернений і додатковий. Прямий код числа дає змогу дати зображення числа з урахуванням знака. Застосовують тільки для подання додатних двійкових чисел. Для подання від'ємних чисел застосовують або додатковий, або обернений код, оскільки над від'ємними числами у прямому коді незручно виконувати арифметичні операції.
Додатковий і обернений коди додатного числа збігаються з його прямим кодом. Правила для утворення додаткового й оберненого кодів такі:
для утворення додаткового коду від'ємного числа потрібно у знаковому розряді поставити 1, а всі цифрові розряди інвертувати (замінити 1 на 0, а 0 — на 1), після чого додати 1 до молодшого розряду;
для утворення оберненого коду від'ємного числа слід у знаковому розряді занести 1, а всі цифрові розряди інвертувати.
Приклад 1.
