5. Определение ускорений точек плоской фигуры. Мгновенный центр ускорений.

Определение ускорений точек плоской фигуры

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям Оxy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором   где  . Тогда

.

В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение   полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение  ,  которое точка м получает при вращении фигуры вокруг полюса A. следовательно,

.

Значение  , как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется как

   

где   и   - угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а   - угол между вектором   и отрезком МА (рис.41).

Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения  какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения  , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23).

Однако вычисление  с помощью параллелограмма, изображен­ного на рис.23, усложняет расчет, так как предварительно надо бу­дет находить значение угла  , а затем - угла между векторами   и  ,  Поэтому при решении задач удобнее вектор    заменять его касательной   и нормальной   составляющими и пред­ставить в виде

.

При этом вектор   направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор   всегда направлен от точки М к полюсу А(рис.42). Численно же

   .

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение мо­жно тоже представить как сумму касательной    и нормальной   составляющих, тогда

.

 

           

Рис.41                                                             Рис.42

 

Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траекто­рия известна, то  можно заменить суммой  .

Мгновенный центр ускорений.

При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение    какой-нибудь точки А фигуры и величины   и  , следующим путем:

1) находим значение угла  , из формулы  ;                

2) от точки А под углом  , к вектору    проводим прямую АЕ (рис.45);

при этом прямая АЕ должна быть отклонена от   в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения  ;

3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный                 

.

Рис.45

 

Построенная таким путем точка Q и будет мгно­венным центром ускорений. В самом деле, известно что

,

где численно  . Подставляя сюда значение AQ  находим, что  .  Кроме того, вектор   должен образовывать с ли­нией AQ угол  , следовательно, вектор   параллелен  , но направлен в про­тивоположную сторону. Поэтому   и   .              

Если точку Q выбрать за полюс, то так как  , ускорение любой точки М тела, будет

.

При этом численно

.

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный мо­мент времени так, как если бы движение фигуры, было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом

,

т.е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгно­венного центра ускорений. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени показана на рис.46.

Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгно­венного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис.47), причем скорость его центра С постоянна ( ), то мгновенный центр скоростей находится в точ­ке Р ( ), но при этом, как было показано  ; следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений.

                                             

Рис.46                                                                Рис.47

 

Мгновенный центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она дви­жется равномерно и прямолинейно и  . Центры скоростей и ускорений сов­падают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси.

Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решении некоторых задач.

6. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, углы Эйлера, угловая скорость тела, угловое ускорение тела.

7. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, определение скоростей и ускорений точек тела.

(Ответ на 6-ой и 7-ой вопросы)

Вращение тела вокруг неподвижной точки

Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение  называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям.

Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.

1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.

Рис. 9.5.

Положение тела определяется тремя углами. Используются различ­ные системы углов. Например, кора­бельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными яв­ляются углы Эйлера:   (пси),   (тета),   (фи).

Положение тела опре­деляется следующим образом. На­значаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси  . На­чало которых берётся в неподвижной точке   тела (рис. 20). Вторая сис­тема, оси  , связывается с телом. Поэтому положение тела будет опреде­ляться как положение этих осей относи­тельно неподвиж­ных.

Рис.20

 

Рис. 9.5.

Когда  углы Эйлера  равны  нулю, под­вижные  оси  совпадают с непод­вижными. Чтобы опреде­лить положение тела, соот­ветст­вующее заданным углам Эйлера, производим следующие  действия. Сначала  подвижные  оси,  а значит и тело, поворачи­ваем на угол   вокруг оси  . При этом  оси    и   отойдут от осей   и   в гори­зон­тальной плоскости и ось   займёт по­ложение   (рис.20). Затем тело вращаем вокруг но­вого  поло­жения  оси   (прямой  ) на угол  . Ось   отойдёт от оси   на этот угол  , а ось   приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси   на угол  . Ось   отойдёт от положения   в на­клонной плоскости, перпендикуляр­ной оси  . Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не пока­зано).

Линия  пересечения  неподвижной  плоскости    и  подвижной  , прямая  , называ­ется линией узлов. Угол   называется углом прецессии, угол   – углом  нутации,  угол   – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.

При движении тела углы Эйлера изменя­ются по определённым законам   которые называются уравнениями вра­щения.

На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.21). Ось волчка   описывает конус вокруг неподвижной оси  . Это вращение определяется углом   (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации  .

А вращение  волчка  вокруг  своей  оси  ,  определяемое углом   – собственное вращение.

Рис.21